重難點分析

本節課的重點是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質為基礎，同時又緊密地聯系著整式、分式的運算，也可以說它是運算問題在初中階段一次總結性，提高性綜合學習;二次根式的運算和有理化的方法與技巧，能夠進一步開拓學生的解題思路，提高學生的解題能力。

本節課的難點是把分母中含有兩個二次根式的式子進行分母有理化。分母有理化，實際上二次根式的除法與混合運算的綜合運用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據分式的基本性質把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學者來說，這一過程容易出現找錯有理化因式和計算出錯的問題。

教法建議

1.在知識的引入上，可采取復習引入方式，比如復習有理數的混合運算或整式的運算。

2.在二次根式的加減、乘法混合運算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應用，逐漸從數過渡到帶有字母的式。

一、教學過程

(一)復習提問

1.什么叫二次根式?

2.下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1>0，故x的取值為任意實數.

(二)二次根式的簡單性質

教學建議

本節的重點有兩個：

⒈同類二次根式的概念

⒉二次根式加減運算的方法

本節的主要內容是講解二次根式的加減法，而二次根式的加減法的關鍵是把二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式合并.二次根式的加減法運算實質是合并同類二次根式，前提是要充分了解同類二次根式的概念，因此同類二次根式的概念是本節的一個重點.

本節的難點二次根式的加減法運算

重點難點分析：

是商的二次根式的性質及利用性質進行二次根式的化簡與運算,利用分母有理化化簡.商的算術平方根的性質是本節的主線，學生掌握性質在二次根使得化簡和運算的運用是關鍵，從化簡與運算由引出初中重要的內容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡二次根式化簡的掌握.

教學難點是二次根式的除法與商的算術平方根的關系及應用.二次根式的除法與乘法既有聯系又有區別，強調根式除法結果的一般形式，避免分母上含有根號.由于分母有理化難度和復雜性大，要讓學生首先理解分母有理化的意義及計算結果形式.

教法建議：

1.本節內容是在有積的二次根式性質的基礎后學習，因此可以采取學生自主探索學習的模式，通過前一節的復習，讓學生通過具體實例再結合積的性質，對比、歸納得到商的二次根式的性質.教師在此過程中給與適當的指導，提出問題讓學生有一定的探索方向.

2.本節內容可以分為三課時，第一課時討論商的算術平方根的性質，并運用這一性質化簡較簡單的二次根式(被開方數的分母可以開得盡方的二次根式);第二課時討論二次根式的除法法則，并運用這一法則進行簡單的二次根式的除法運算以及二次根式的乘除混合運算，這一課時運算結果不包括根號出現內出現分式或分數的情況;第三課時討論分母有理化的概念及方法，并進行二次根式的乘除法運算，把運算結果分母有理化.這樣安排使內容由淺入深，各部分相互聯系，因此及彼，層層展開.

1.教材分析

本節是在前兩節的基礎上，從實際運算的客觀需要出發，引出最簡二次根式的概念，然后通過一組例題介紹了化簡二次根式的方法.本小節內容比較少(求學生了解最簡二次根式的概念并掌握化簡二次根式的方法)，但是本節知識在全章中卻起著承上啟下的重要樞紐作用，二次根式性質的應用、二次根式的化簡以及二次根式的運算都需要最簡二次根式來聯接.

(1)知識結構

(2)重難點分析

①本節的重點Ⅰ.最簡二次根式概念

Ⅱ.利用二次根式的性質把二次根式化簡為最簡二次根式.

重點難點分析：

本節的教學重點是利用積的算術平方根的性質進行二次根式的計算和化簡.積的算術平方根的性質是本節的中心內容，化簡和運算都是圍繞其進行的，而運用此性質計算化簡又是二次根式的化簡和混合運算的基礎.二次根式的計算和化簡通常與如勾股定理等幾何方面的知識綜合在一起.

本節難點是二次根式的乘法與積的算術平方根的關系及應用.積的算術平方根在應用時既要強調這部分題目中的字母為正數，但又要注意防止學生產生字母只表示正數的片面認識.要讓學生認識到積的算術平方根性質與根式的乘法公式是互為逆運算的關系。綜合應用性質或乘法公式時要注意題目中的條件一定要滿足.

教法建議：

1.由于性質、法則和關系式較集中，在二次根式的計算、化簡和應用中又相互交錯，綜合運用，因此要使學生在認識過程中脈絡清楚，條理分明，在教學時就一定要逐步有序的展開.在講解二次根式的乘法時可以結合積的算術平方根的性質，讓學生把握兩者的關系。

2.積的算術平方根的性質和()及比較大小等內容都可以通過從特殊到一般的歸納方法，讓學生通過計算一組具體的式子，引導他們做出一般的結論。由于歸納是通過對一些個別的、特殊的例子的研究，從表象到本質，進而猜想出一般的結論，這種思維過程對于初中學生認識、研究和發現事物的規律有著重要的作用，所以在教學中對于培養的思維品質有著重要的作用。

2002年，我市開始使用新課標數學教材。新課標在適應學生差異性方面很有特色；教材正文理論要求有所降低，刪去了繁瑣的計算題及多步推理的論證題，使每個學生通過自己的努力都能達到基本要求；同時拓寬了知識面，選入了能開闊學生視野、啟迪學生思維、與生產和生活相關的習題，并分A、B層次編排，使學有余力學生的數學才能得以充分發展。如何在教學中發揮教材特點，適應學生的差異，使教法改革與教材改革完美統一呢？帶著這個問題，本人經過幾年的探索，初步形成了“激勵式分層教學法”，并取得了一些成效，實踐證明這一教學法是行之有效的。下面簡介該教學法的一些原理與做法。

學生的品格、智力與體能狀態是有差異的，所以，應圍繞“因材施教，分層提高，讓尖子冒出來，使多數邁大步，讓后進生不落伍，達到班級整體優化”來開展教與學的活動。在施教過程中，應貫徹兩項原則:一是內部動力原則。即承認學生認識機能中的主觀能動性，其中某一個性因素（如數學興趣）發生變化，將引起其他部分及整體變化（產主學習數學的主動性）。二是適應與轉化發展原則。“適應”即教學應適應學生現有心理狀態、知識水平和認知能力；“轉化發展”即變學生厭學為愛學，變不會學為會學，變無所作為為積極進取，求得每個學生學習數學的最佳心理狀態。

激勵式分層教學法的基本做法包括四個方面。

一、定好起跑線

先向學生宣傳激勵式分層教學法的目的。使每個學生真正認識到學習成績的差異是客觀存在的，分層的目的是為了劃定每個學生現有的最近發展區，因材施教，最終縮小差異，達到班級整體優化。之后，公布學生雙基考查成績，學生根據自己的實際申報A、B、C三個學習小組。教師宣布每組課堂學習和課外學習的不同標準和要求：C組學生在教師與同學的幫助下完成學習，達到教材的基本要求，完成練習題以及A組習題；B組學生在教師的啟發下，達到教材基本要求，獨立完成練習題、A組習題及部分B組習題；A組學生獨立達到基本要求，主動學習“讀一讀”、“想一想”、“做一做”等知識拓廣性內容，在完成A、B組習題中總結歸納解題思想和方法，同時幫助B、C組學生完成學習任務，共同進步。

二、分階梯授課

在初中數學教學中，有些教師對于學生的個體化差異不夠重視，應用的教學方式過于單一，缺乏針對性，教學效果不理想．鑒于此，教師要開展激勵式階梯教學，根據學生的實際情況，提出符合學生理解能力的、難度適度的問題，啟發學生思考，從而培養學生的數學能力．

一、激勵式階梯教學的原則

激勵式階梯教學的原則主要表現在:第一，結合智力因素和非智力因素;第二，結合同步教學和異步教學，給學生制定明確的學習目標和要求，結合學生的水平和可能性進行綜合評估，并將其與教材內容相結合設計一個階梯，根據階梯將學生分類，以向學生提出各種學習要求，促進學生的獨立發展;第三，結合學生的主觀心理認識規律和客觀的知識形成發展，根據學生的層次和認識階段的差異，依照認識論、實踐論的原理對知識內容進行彈性處理，促使學生的個體差異融合到教材彈性中．

二、激勵式階梯教學的要求

教師作為教學活動的設計者和引導者，教學方法運用的好壞決定著教學質量的高低．激勵式階梯教學，符合學生的學習實際．在開展激勵式階梯教學時，教師需要對教材內容進行認真分析，把握好教學目標．教師設計一個教學目標，要求學生根據這個目標去學習，培養學生的目標意識．在教學中，教師應根據教學內容選擇教學方法．比如，有些比較簡單的教學內容，教師可以讓學生通過自學來掌握;有些較難的教學內容，教師要找出難點和重點，幫助學生理解，其余內容交給學生自主學習，使學生深刻理解、靈活運用所學數學知識．

三、激勵式階梯教學的具體做法

【摘要】《數學課程標準》中指出："學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者、合作者。新課改實施以來，要求我們改變傳統的教學理念，突出以學生發展為本的全新教學理念，發揮學生學習的積極主動性，使學生成為課堂教學的主人。本文以新課程改革理念為依據，對初中數學課堂教學進行了研究分析。

【關鍵詞】初中數學；課堂教學；研究

《數學課程標準》中指出："學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者、合作者。"隨著基礎教育課程改革的穩步推進，素質教育向縱深發展，教師教學和學生學習的諸多弊端日漸雖有一定程度的改觀。但從整體看來，教師的教學"滿堂灌"、"一言堂"現象依然較為普遍，方法落后，以教代學、以講代學，以細代精，以灌代導。學生學習被動，死記硬背，主動性差，缺少對所學知識的感悟和體驗，學習盲目性大，缺少計劃總結和反思。數學的教學應當圍繞學生的發展展開，學生是"學習的主人"這就要求教師要正確引導和指導，要千方百計調動學生學習的主動性和積極性，激發學生興趣，讓學生成為學習的主人。現結合自己教學談談自己課堂教學的幾點心得。

一、課前做好預習與檢查

"凡事預則立，不預則廢"。在初中數學教學中也是如此，我們要想在課堂教學中充分發揮出學生的學習積極性和主動性，課前就要做好預習與檢查，使學生不打無準備之仗。預習就是教師根據第二天的教學內容設計自學提綱，自學提綱內容分為三部分：學習目標、預習指導、預習檢測。學習目標是讓學生理解本節課學習要達到的目標、帶著目標去學習。預習指導是從學生已掌握的知識基礎、生活實際經驗出發，通過問題串的形式引導學習新知識。預習指導要明確預習時間，即要求學生在什么時候用多長時間進行預習，也就是說要限定預習時間。預習檢測就是利用一些簡單的練習讓自己檢測自己的預習效果，找到自己預習中的不足之處以便和其他學生進行交流。例如：講解二次根式的混合預算時，學生已經學過了二次根式的乘除、加減運算，對二次根式的混合運算比較感興趣，但是不太理解；對學過的整式的加減乘除混合運算比較熟悉，但是不感興趣。因此在編寫自學提綱時我就在新舊知識的連接處設計自學提綱，這樣可以使學生輕松、自愿、愉快地學次根式的混合運算和乘法公式在運算中的應用。

二、教學中加強交流與展示

【摘要】《數學課程標準》中指出："學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者、合作者。"新課改實施以來，要求我們改變傳統的教學理念，突出以學生發展為本的全新教學理念，發揮學生學習的積極主動性，使學生成為課堂教學的主人。本文以新課程改革理念為依據，對初中數學課堂教學進行了研究分析。

【關鍵詞】初中數學；課堂教學；研究

《數學課程標準》中指出："學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者、合作者。"隨著基礎教育課程改革的穩步推進，素質教育向縱深發展，教師教學和學生學習的諸多弊端日漸雖有一定程度的改觀。但從整體看來，教師的教學"滿堂灌"、"一言堂"現象依然較為普遍，方法落后，以教代學、以講代學，以細代精，以灌代導。學生學習被動，死記硬背，主動性差，缺少對所學知識的感悟和體驗，學習盲目性大，缺少計劃總結和反思。數學的教學應當圍繞學生的發展展開，學生是"學習的主人"這就要求教師要正確引導和指導，要千方百計調動學生學習的主動性和積極性，激發學生興趣，讓學生成為學習的主人。現結合自己教學談談自己課堂教學的幾點心得。

一、課前做好預習與檢查

"凡事預則立，不預則廢"。在初中數學教學中也是如此，我們要想在課堂教學中充分發揮出學生的學習積極性和主動性，課前就要做好預習與檢查，使學生不打無準備之仗。預習就是教師根據第二天的教學內容設計自學提綱，自學提綱內容分為三部分：學習目標、預習指導、預習檢測。學習目標是讓學生理解本節課學習要達到的目標、帶著目標去學習。預習指導是從學生已掌握的知識基礎、生活實際經驗出發，通過問題串的形式引導學習新知識。預習指導要明確預習時間，即要求學生在什么時候用多長時間進行預習，也就是說要限定預習時間。預習檢測就是利用一些簡單的練習讓自己檢測自己的預習效果，找到自己預習中的不足之處以便和其他學生進行交流。例如：講解二次根式的混合預算時，學生已經學過了二次根式的乘除、加減運算，對二次根式的混合運算比較感興趣，但是不太理解；對學過的整式的加減乘除混合運算比較熟悉，但是不感興趣。因此在編寫自學提綱時我就在新舊知識的連接處設計自學提綱，這樣可以使學生輕松、自愿、愉快地學次根式的混合運算和乘法公式在運算中的應用。

二、教學中加強交流與展示