導語：如何才能寫好一篇二次根式有理化的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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是商的二次根式的性質及利用性質進行二次根式的化簡與運算,利用分母有理化化簡.商的算術平方根的性質是本節的主線，學生掌握性質在二次根使得化簡和運算的運用是關鍵，從化簡與運算由引出初中重要的內容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡二次根式化簡的掌握.

教學難點是二次根式的除法與商的算術平方根的關系及應用.二次根式的除法與乘法既有聯系又有區別，強調根式除法結果的一般形式，避免分母上含有根號.由于分母有理化難度和復雜性大，要讓學生首先理解分母有理化的意義及計算結果形式.

教法建議：

1.本節內容是在有積的二次根式性質的基礎后學習，因此可以采取學生自主探索學習的模式，通過前一節的復習，讓學生通過具體實例再結合積的性質，對比、歸納得到商的二次根式的性質.教師在此過程中給與適當的指導，提出問題讓學生有一定的探索方向.

2.本節內容可以分為三課時，第一課時討論商的算術平方根的性質，并運用這一性質化簡較簡單的二次根式(被開方數的分母可以開得盡方的二次根式);第二課時討論二次根式的除法法則，并運用這一法則進行簡單的二次根式的除法運算以及二次根式的乘除混合運算，這一課時運算結果不包括根號出現內出現分式或分數的情況;第三課時討論分母有理化的概念及方法，并進行二次根式的乘除法運算，把運算結果分母有理化.這樣安排使內容由淺入深，各部分相互聯系，因此及彼，層層展開.

3.引導學生思考“想一想”中的內容，培養學生思維的深刻性，教師組織學生思考、討論過程中，鼓勵中國學習聯盟膽猜想，積極探索，運用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發學生創造性的思維.

教學設計示例

一、教學目標

1.掌握商的算術平方根的性質，能利用性質進行二次根式的化簡與運算;

2.會進行簡單的二次根式的除法運算;

3.使學生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡及近似計算問題;

4.培養學生利用二次根式的除法公式進行化簡與計算的能力;

5.通過二次根式公式的引入過程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高學生的歸納總結能力;

6.通過分母有理化的教學，滲透數學的簡潔性.

二、教學重點和難點

1.重點：會利用商的算術平方根的性質進行二次根式的化簡，會進行簡單的二次根式的除法運算，還要使學生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法進行.

2.難點：二次根式的除法與商的算術平方根的關系及應用.

三、教學方法

從特殊到一般總結歸納的方法以及類比的方法，在學習了二次根式乘法的基礎上本小節

內容可引導學生自學，進行總結對比.

四、教學手段

利用投影儀.

五、教學過程

(一)引入新課

學生回憶及得算數平方根和性質：(a≥0，b≥0)是用什么樣的方法引出的?(上述積的算術平方根的性質是由具體例子引出的.)

學生觀察下面的例子，并計算：

由學生總結上面兩個式的關系得：

類似地，每個同學再舉一個例子，然后由這些特殊的例子，得出：

(二)新課

商的算術平方根.

一般地，有(a≥0，b>0)

商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.

讓學生討論這個式子成立的條件是什么?a≥0，b>0，對于為什么b>0，要使學生通過討論明確，因為b=0時分母為0，沒有意義.

引導學生從運算順序看，等號左邊是將非負數a除以正數b求商，再開方求商的算術平方根，等號右邊是先分別求被除數、除數的算術平方根，然后再求兩個算術平方根的商，根據商的算術平方根的性質可以進行簡單的二次根式的化簡與運算.

例1化簡：

(1);(2);(3);

解∶(1)

(2)

(3)

說明：如果被開方數是帶分數，在運算時，一般先化成假分數;本節根號下的字母均為正數.

例2化簡：

(1);(2);

解：(1)

(2)

讓學生觀察例題中分母的特點，然后提出，的問題怎樣解決?

再總結：這一小節開始講的二次根式的化簡，只限于所得結果的式子中分母可以完全開的盡方的情況，的問題，我們將在今后的學習中解決.

學生討論本節課所學內容，并進行小結.

(三)小結

1.商的算術平方根的性質.(注意公式成立的條件)

2.會利用商的算術平方根的性質進行簡單的二次根式的化簡.

(四)練習

1.化簡：

(1);(2);(3).

2.化簡：

(1);(2);(3)

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【關鍵詞】 教學；經驗；體會

《實數》一章，是在數的開方的基礎上引進無理數的概念，并將數從有理數的范圍擴充到實數的范圍。由于實數涉及的理論較深，數的概念又比較抽象，這些概念看似簡單，學生要真正掌握還是有點困難。 因此，教學經驗豐富的老教師常說初中數學的“3個2”，其中之一就是《實數》這一章“平方根”和“二次根式”。可見，《實數》這一章在初中數學中有著舉足輕重的位置。對于我們初中的數學教師來說，上好本章的重要性是不言而喻的。在《實數》這一章對概念的處理上，重點抓住主要概念，注重概念的形成過程，讓學生在具體的活動中獲得認識，增強理解；對內容的安排上，聯系實際情境，導入新知識，注意前后知識間的對比，同時讓學生在運用中促進對知識的理解和掌握。例如：在第一教時里先通過具體的活動求面積為2的正方形的邊長，提出問題：它可能是整數嗎？它可能是分數嗎？讓學生親身經歷這些活動，在討論中引起認知沖突，感知生活中確實存在不同與有理數的數，產生探求的欲望：它不是有理數，那它是什么數？再讓學生進一步借助計算器充分探索，得出它是一個無限不循環小數，從而給出無理數的概念。這與歷史上無理數的產生和發展過程是一致的，符合人的認識規律，同時讓學生體會到抽象的數學概念在現實世界中有其實際背景。

無理數有很多，開方開不盡的數是其中的一種，也是我們計算中經常接觸到的。在課堂教學時應選取一些生動的素材，引入平方根和立方根的概念和開方運算。由于在實際情境中的開平方運算結果取的都是算術平方根，而且正數有兩個平方根與學生長期的經驗不符，學生不易接受，因此教科書先引入算術平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念。

為了讓學生能很好地理解和掌握《實數》這一章的知識，強化部分知識點的教學。在教授《實數》這一章時，應注重以下幾個方面的教學：

一、“最簡二次根式”和“分母有理化”是二次根式運算的一個基礎

新教材淡化了此教學內容。在教學二次根式的化簡時要進行適當的補充，不要讓學生死記硬背概念，只要學生能理解會用就行。這樣，學生在遇到二次根式計算時，做到什么地方結束，心中便有了底。

二、對于二次根式的計算，要進行必要的補充練習，適當增加二次根式計算的教學課時

二次根式的運算是本章的重點，新教材上安排了2課時的教學時間，且練習題量小，這樣學生對二次根式的運算的熟練程度和正確率明顯降低。因此，在教學時要增加習題量，注重題型的變化、注重整式乘法法則與乘法公式結合的題目，注重對積、商的算術平方根性質（包括逆用）的練習，并幫助學生不斷地進行歸納整理。如化簡：12×3-5，課本上是這樣做的：12×3-5＝12×3-5＝36-5＝6-5＝1，在上完二次根式化簡后，要及時補充上另一種方法：12×3-5＝23×3-5＝6-5＝1。這樣，有利于學生能更好地理解二次根式化簡。

三、對平方根、立方根知識體系的理解與掌握是核心

對算術平方根、平方根、立方根，以及平方根的性質、立方根的性質要求學生在理解的基礎上識記。對概念的掌握做到 “四會”：會敘述、會判斷、會舉例、會應用。以敘述（背頌）為基礎，會判斷、會舉例為檢測標準，會應用為最終目的。注重每個概念的形成過程的教學。如算術平方根與平方根的區別學生很難把握，很容易出錯。要求學生首先弄準題意到底是在求平方根或算術平方根。如，已知2=9，求，這里是求平方根；9＝？這里是求算術平方根。

四、分兩個層次來突破無理數概念這個難點

無理數概念的教學歷來是一個難點，為了加深對無理數意義的理解，分兩個層次來突破這個難點：其一突出對無理數產生背景的教學，讓學生經歷無理數產生的過程，感知無理數的存在，使學生產生探究的欲望。其二逐步加深對無理數的理解，多舉無理數的實例。如：在數軸上找無理數點，強調實數與數軸上的點一一對應的關系。可告知數軸上的無理數的點多得很，幾乎處處都是無理數。明確告訴學生無限不循環小數、開方開不盡的數都是無理數。自編無理數，0.1010010001――等讓學生加強對無理數的理解。

五、注意易錯知識的教學

譬如，學生經常出現的錯誤：X2=7，則X=7；36 =±6；（-2）2=2；364=8；364=±4等等。教學時細致為學生分析錯誤原因，加強練習，并反復為學生講解，直到學生弄懂為止。

六、注意估算方法的教學，使學生掌握估算的方法，發展學生的合情推理能力

在實際生活和生產實際中，對于無理數我們常常通過估算來求它的近似值。要多安排一節內容：例如公園有多寬，介紹估算的方法，包括通過估算比較大小，檢驗結果的合理性等等，其目的是發展學生的數感。

七、注重概念教學

概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經過分析、綜合去掉非本質特征，保持本質屬性而形成的。概念的形成過程也是思維過程，加強概念形成過程的教學，對提高學生的思維水平是很必要的。例如：無理數的引入，先讓學生親身經歷活動，感受引入的必要性，初步認識無理數是無限不循環小數這一意義。在教學時，鼓勵學生動手、動腦、動口，與同伴進行合作，并充分地開展交流。再如，平方根的概念，對正數有兩個平方根學生不太容易接受，往往丟掉負的平方根，因為這與他們以前的運算結果唯一的經驗不符。對此，在平方根的引入時，多提一些具體的問題，例如：16的算術平方根是4，也就是說，4的平方是16。還有其他的數，它的平方也是16嗎？等等，旨在引起學生的思考，特別是負數的情況，讓學生從具體的例子中抽象出初步的平方根的概念。接著讓學生去討論：一個正數有幾個平方根？0有幾個平方根？負數呢？引導學生更深刻地理解平方根的概念，然后再通過具體的求平方根的練習，鞏固新學的概念。

八、類比法是也是是本章的重要方法之一

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和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明

數學關系，形成良好的思維品質。

【關鍵詞】思維培養

在數學課堂教學中應當如何貫徹教學大綱的思想，更加有效地培養學生的數學思維能力呢？筆者從以下

幾個方面來談談一些的看法。

一、 創設問題情境，激發積極思維

加強教師與學生的感情交流，是促進認知發展的動力。為了營造良好的氛圍，教師應緊密聯系教學實際

，深入鉆研教材，從教材中挖掘出有一定思考價值的知識內容，將其設計轉化為問題，激發學生的主動

精神，保持迫切解決問題，表現自我的心理欲望。設計問題的方式有：1、引而不發式：由教師設計和引

發思維過程，學生實現和展開思維活動，由于學生親自參與和經歷了數學思維活動全過程，使學生逐漸

體會數學思維的特點，了解數學的策略方式和方法，掌握和實踐數學思維的操作技能，培養了學生的創

造性。如：對開二次根式ɑ2 ＝ ｜ɑ｜學生總是難于掌握，開始推出： ɑ2 ＝a， (－ɑ)2 ＝－a,再讓學

生展開討論，最終由實數算術根的意義得以理解，概括出 ɑ2 ＝ ｜ɑ｜的公式。2、定勢打破式：對不同

問題提供同一思路來解決方法，提供特殊的變異，需要新的思路才能解決，迫使學生進入積極思維狀態

。例如：學了根式的分母有理化后，設計了這樣的一個問題，比較 7 －6 ， 8 －7 的大小，學生采用

常規的求差法對這個問題難以解決，由根式聯想到分母有理化知識，采用分母有理化的技巧，問題立即

得到解決。3、似是而非式：提出一些模棱兩可，似是而非的問題時，讓學生捉摸不透，無所適從進入思

維狀態。例如：學了無理數的概念后，設計了這樣的一組判斷題：（1）無理數是開不盡方的數。（2）

有的無限小數是有理數。（3）無限小數是無理數。（4）帶根號的數是無理數。學生通過對這些問題的

思考，不僅鞏固了有關概念，還激發了學生的積極思維。

二 、注重集中思維，加強發散思維能力的培養

集中思維是指從同一來源材料探求一個正確答案的思維過程，思維方向集中于同一方向，即從同一方

面進行思考。在當前，不管從教材，還是教師，都非常注重集中思維能力的培養，相對忽視了學生發散

思維能力的培養。因此要加強學生發散思維能力的培養。 發散思維能力的培養，可從以下幾個方面：

1.對問題的條件進行發散。

對問題的條件進行發散是指問題的結論確定以后，盡可能變化已知條件，進而從不同的角度，用不同的

知識來解決問題。這樣，一方面可以充分揭示數學問題的層次，另一方面又可以充分暴露學生自身的思

維層次，使學生從中吸取數學知識的營養。例如，ABC為直角三角形，∠ACB=90 0,CD AB于D,如圖，

試給出適當的條件，可以確定AC的長。 已知條件的給法有多種，現僅考慮每次給出兩邊的情況，一般有

如下十種：（1）AD、CD; (2)AB、BC; (3)AD、AB;

(4)AD、BD; (5)AB、BD; (6)CD、DB; (7)BD、BC;

(8)BC、CD; (9)AD、BC; (10)AB、CD。這樣做，

學生認為是自己出題自己解答，有一種輕松感。

即使基礎較差的學生，也覺得可以試一試。

2.對問題的結論進行發散。

與已知條件的發散相反，結論的發散是確定了已知條件后，沒有固定的結論，讓學生自己盡可能多地確

定未知元素，并去求解這些未知元素，這個過程是充分揭示思維的廣度和深度的過過程。如：已知☉O內

切于四邊形ABCD,AB=AD,連結AC、BD。不再標注其它字母和添加任何線段，由這些條件可推出哪些結論？

這里我們給出幾個結論：

（1）A、O、C三點共線；（2） ∠ABC=∠ ADC (3)AC平分 ∠A；（4）BC=CD；

（5）AC垂直BD；

（6）SABCD = (1/2)AC.BD

3.對圖形進行發散。

圖形的發散是指圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程

，不僅可以舉一反三，觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區別和聯系，找出特殊與一般這

間的關系。例如：（1）如圖，PA切☉O于A點，PA=PB,BCD為☉O割線，DP交☉O于E點，BE的延長交☉O于F

點，連結CF,求證：CF//BP。（2）若點B在圓內，CBD為弦，其他條件不變，原結論是否成立？證明你的

結論。

4．對解法進行發散。

解法的發散即一題多解。例如：已知：a，b，c為 ABC的三邊，D在線段AB上且BC=DC，設AD=d，求證：

c+d=2bcosA，cd=b2－a2 。

證法一：根據題目中含有"cosA"可以聯想到利用余弦定理來證。

證法二：根據題中含有："c+d"和"cd"，可以聯想到

利用一元二次方程的根與系數的關系來證。

證法三：根據題中含有"bcosA",可以聯想到利用以b為斜邊、 A為銳角的直角三角形來求證。 除了以上

三種方法外，還可以用其它方法來證明。

因此，教師在課堂上有意識、有目的地培養學生的集中思維和發散思維能力，對提高學生分析問題和

解決問題的能力，提高學生學習數學的興趣是十分有益的。

三．注重思維品質的培養。

思維品質包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和獨造性，它們反映了思維的不同方面的特征，

因此在教學過程中應該有不同的培養手段。數學思維的深刻性就是分清實質的能力，數學思維的敏捷性

，主要反映了正確前提下的速度問題，數學思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，數學思維的批判性

是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的智力品質，思維的獨創性是指思維活動的創造性精神，是在新穎地解決問

題中表現出來的智力品質。平時在課堂教學中要注重思維品質的培養，選擇恰當的題目，分階段有計劃

的逐步進行。例如：證明恒等式 ɑ2(x－b)(x－c)(ɑ－b)(ɑ－c) ＋ b2(x－c)(x)－ɑ)(b－c)(b－ɑ)＋

c2(x－ɑ)(x－b)(c－ɑ)(c－b) ＝ x2。若有學生能用方程的觀點和方法，這就說明他具有良好的數學思

維品質；設想這是關于x的方程，說明思維具有深刻性和廣闊性；解法新穎獨到，說明思維具有靈活性和

獨創性；能迅速判斷x=a、x=b、x=c為方程的解，說明思維具有敏捷性；論據和結果均正確，說明思維具

有批判性。

總之，學生思維能力的培養是一個長期而復雜的過程，不可能一蹴而就，它要求我們在課堂教學中要持

之以恒地認真鉆研教材，合理創設問題情境、加強思維訓練并積極探索規律，總結經驗，改進教學方法

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    一、為什么要討論銜接問題

    首先,課改以來的教材變化和課程標準的變化使初高中數學知識在具體內容上出現了較大的跨度。初中數學教學內容有較大程度的壓縮,而高中數學在教材內容上有所增加,而且有些內容沒有銜接,使得學生從初中到高中要跨越很高的臺階,增加了學習的難度。

    其次,初高中數學對數學思想方法的教學和要求也有很大的不同。初中涉及的思想方法較少而且要求不高,甚至沒有明確地提出思想方法的概念,而高中涉及較多的思想方法,而且要求學生熟練地運用這些思想方法來解決問題。這也對學生提出了更高的要求,使許多學生不能很快適應。

    二、哪些具體內容需要銜接

    1.初中刪去的,高中經常要運用的內容

    (1)立方和與立方差公式在初中課程中已刪去,而在高中課程的運算中經常用到。

    (2)因式分解在初中課程中一般僅限于二次項系數為"1"的分解,對系數不為"1"的涉及不多;初中課程對高次多項式因式分解幾乎不做要求,但高中課程中的許多化簡求值都要用到這些因式分解。

    (3)二次根式部分對分母有理化在初中課程中不做要求,而分子、分母有理化是高中課程中函數、不等式部分常用的運算技巧。

    (4)幾何部分很多概念(如重心、外心、內心等)和定理(如,平行線分線段比例定理、角平分線性質定理等)初中課程中大都已經刪去,而高中課程中要經常涉及這些內容。

    2.初中要求低,而高中需要熟練運用的內容

    (1)初中課程對二次函數的要求較低,但二次函數卻是高中課程中貫穿始終的重要的基礎內容,而且對二次函數的圖象和性質要進行深入的研究。

    (2)二次函數、一元二次不等式與一元二次方程的聯系,根與系數的關系(韋達定理)在初中不做要求,而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容,高中教材卻未安排專門的講授。

    (3)含有參數的函數、方程、不等式,初中不做要求,只作定量研究,而高中課程中這些內容是必須掌握的重點內容。

    3.數學思想方法的銜接

    (1)初中對分類討論思想、數形結合思想只是有一些滲透,而高中就要求學生理解并在解題中應用。

    (2)配方法、待定系數法、分離常數法、十字相乘法等運算方法和變形技巧,初中做要求,而高中數學中卻要求學生熟練掌握。

    三、怎樣做好銜接工作

    1.教學內容的銜接

    在高中階段剛開始的數學教學中,適當放慢教學進度、降低課程難度。新授課的導入,盡量由初中的角度切入,注意新舊對比、前后聯系,把高中教材研究的問題與初中教材研究的問題在文字表述、研究方法、思維特點等方面進行對比,使學生明確新舊知識之間的聯系與差異,從而順利地過渡到新知識的學習中。

    2.數學思想方法的銜接

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一、提高學生的運算技能——多練運算

對于學生計算能力差的班級數學老師通常會感到苦惱，怎樣來提高學生的計算能力呢？筆者認為有以下幾個原因：一是沒有從計算中吸取和儲備計算技巧；二是不善于結合自己的計算方法開動腦筋；三是計算練習次數太少。針對以上三個原因，筆者在具體的教學中做了這樣的處理。

例如，在教授《二次根式》一章時，在課堂上講析各類運算的法則（包括取值范圍、運算依據、化簡要求），然后出示對應的典型習題，鼓勵學生進行運算訓練，從而掌握同類二次根式、運算律的運用、公式的運用、分母有理化等需要實踐應用才呈現并需要掌握的知識方法技能，讓其獲得過程體驗，掌握基本技能。

二、構建學生的解題模型——多練例題

課堂教學中要能提高學生分析問題的能力，就必須進行有效的應用拓展訓練。這不僅可以鞏固已經學到的新知識，提高對新知識的認識，也可以將新知識與舊知識有機地結合在一起，從而給學生得到新知識運用的特有情境，顯示了新知識在解決問題中的價值，同時也提高了學生學習新知識的興趣。數學課本上的例題是綜合了一個學段的重點知識和方法的典型題目，在課堂上既要考慮讓學生對例題的解題方法進行挖掘，又要注意授學生以“漁”，使其獲得學習能力和解決問題的能力。

例如，在講解《一元二次方程與實際問題》時，教材提供了三種類型的實際問題并通過例題方式呈現，這三道例題雖然都很有實用性且課本分析科學合理、解答過程詳細完整，但是不利于學生滲透和強化“方程建模”的思想方法。于是，筆者將三個例題安排給學生自主閱讀學習，利用這三個例題讓學生明白實際問題中如何取舍方程的根，而在課外資料上找了四類利于建模并易于學生模仿的題目作為例題。

三、培養學生的破題能力——多練方法

數學教育的核心是數學思維教育，而數學問題的解答則是形成學生的數學意識和培養學生的數學思維素質的主要途徑。為此，我們的數學教育應從學生的實際出發，能夠通過恒等或同解等方法將問題轉化，從而使問題得到解決。

例如，在講解《解一元二次方程》時，方法是很重要的，課堂上筆者通過滲透“降次轉化”的思想方法，精講配方法和因式分解法解一元二次方程的步驟和依據，然后由易到難的設計梯度練習，讓學生在應用基本方法的過程中逐步理解數學思想方法，把握解題關鍵，總結方法技巧，從而推廣延伸，得到公式法和十字相乘法分解因式的解方程方法。

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初、高中數學教學銜接問題存在的原因主要有以下四個方面：

1.初高中教材的差別顯著。現行高中數學課本（必修本）與初中數學相比，初步分析有其以下顯著特點：從直觀到抽象，從單一到復雜，從淺顯至嚴謹，從定量到定性。初中數學教材的文字敘述通俗易懂，語法結構簡單，運用的數學知識基本上是四則運算，且其公式參量也較少。高中數學語言敘述較為嚴謹、簡練，敘述方式較為抽象、概括，理論性較強，對學生的思維能力和方式的要求大大地提高和加寬了。再加之教材從數學的知識體系出發，將最難的部分“函數”放在高一階段，也就必然會給學生的學習帶來困難、造成障礙。

2.初高中數學知識存在“脫節”。（1）立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。（2）因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。（3）二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。（4）初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區間、求最值、研究閉區間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。（5）二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。（6）圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上下、左右平移，兩個函數關于原點、軸、直線的對稱問題必須掌握。（7）含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內容視為重難點，方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。（8）幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理、射影定理、相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。

3.升學考試要求不同下教法的變化。初中教師的教學主要依據初中學生特點及教材的內容，教學進度較慢，對重點內容及疑難問題都有較多時間反復強調、答疑解惑;而高中教師在處理高中教材時卻沒有充裕的時間去反復強調教材內容，對于習慣于初中教師教法的學生，進入高中后難以適應高中教師的教法。

4.學習方法的變化。在初中，考試時學生只要記準概念、公式及教師所講例題類型，一般均可對號入座取得好成績，不注重獨立思考和對規律的歸納總結。到了高中，由于內容多時間少，教師不可能把知識應用形式和題型講全講細，只能選講一些具有典型性的題目。因此，高中數學學習要求學生勤于思考，善于歸納總結規律，掌握數學思想方法，做到舉一反三、觸類旁通。然而，剛入學的高一新生往往繼續沿用初中學法，致使學習困難增多，完成當天作業都很困難，更別提預習、復習及總結等自我消化、自我調整的時間。這顯然不利于良好學法的形成和學習質量的提高。

根據以上四方面的問題，為搞好初高中銜接，我認為應采取以下主要措施：

一、摸清底細，規劃教學

為了搞好初高中銜接，教師首先要摸清學生的學習基礎，然后以此來規劃自己的教學和落實教學要求，以提高教學的針對性。在教學實際中，我們一方面通過進行摸底考試和對入學成績的分析，了解學生的基礎;另一方面，認真學習和比較初高中教學大綱和教材，以全面了解初高中數學知識體系，找出初高中知識的銜接點、區別點和需要鋪路搭橋的知識點，以使備課和講課更符合學生實際、更具有針對性。

二、優化課堂教學環節，搞好初高中銜接

要立足于大綱和教材，尊重學生實際，實行層次教學;重視新舊知識的聯系與區別，建立知識網絡;展示知識的形成過程和方法探索過程，培養學生的創造能力;培養學生自我反思、自我總結的良好習慣，提高學習的自覺性;重視專題教學，利用專題教學，集中精力攻克難點，強化重點和彌補弱點，系統歸納總結某一類問題的前后知識、應用形式、解決方法和解題規律，并借此機會對學生進行學法的指點，有意滲透數學思想方法。

三、加強學法指導，培養良好的學習習慣

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關鍵詞：高中數學；初中數學；斷層現象；原因分析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）10-240-01

自從高中使用北師大版的新課程標準實驗教科書以后，自己在高中的數學教學中總感覺有一種斷層現象，今年專門研究了一下初中數學教與學的過程，發現確實存在著很多斷層現象。許多初中學校、高中學校是完全獨立的，因此高中老師不了解初中的程課設置和教學特點，對初中新課程改革中，新課標對教學及學生要求的一系列的變化更是不了解，初中老師也不了解高中的課程設置和教學特點。然而在實際教學過程中我們發現學生進入高中階段后遇到了很多不適應的情況，初高中的教學確實存在著斷層現象，下面從知識、能力兩方面淺談一下斷層現象及原因。

一、初高中知識、能力方面的斷層現象

1、知識方面的斷層

（1）在平面幾何結論（三角形的內心、外心、重心、垂心概念，內角平分線定理、重心定理、圓冪定理等）上不銜接；（2）用十字相乘求一元二次方程的根不銜接；立方和（差）公式不銜接；（3）二元二次方程組（含一個二元一次方程）不銜接；（4）一元二次不等式求解不銜接；（5）三元一次方程組求解不銜接。

2、能力方面的斷層

（1）學生對變量的理解與認識不夠；（2）學生的空間想象力不夠；（3）學生在書寫規范性和準確簡明表達解題過程方面不足；（4）學生的多項式計算化簡能力不強；（5）學生對分式的計算與化簡能力不強。

二、初高中知識、能力方面的斷層現象的分析

1、知識分析：代數，幾何，概率統計三方面完全刪除或降低要求的部分；新增或提高要求的部分

刪減或降低部分代數方面1、立方和(差)公式刪除；2、因式分解：總體要求大大降低；3、二次根式刪除同類二次根式的概念，降低分母有理化要求；4、刪除三元一次方程組、二元二次方程組；刪除韋達定理，一元二次不等式、分式方程，沒有要求可化為一元二次方程的分式方程；5、函數；6、三角函數。這些知識都是進入高中之后的基礎和重點，立方差公式、因式分解、方程組都是在高中解題化簡中常用的方法，韋達定理就更不用說了，高考中的有關圓錐曲線知識的解題中，80%要用到韋達定理，而這個知識點只能在高中解題的時候重新講解；不等式，分式方程的解法在高中也是一個重點，這些知識在初中階段的要求降低，學生進入高中之后的運算能力就顯得非常弱。

幾何方面1、三角形“四心”中的重心、垂心只做過介紹；大邊、大角關系沒有要求；2、完全刪除平行線分線段成比例定理及逆定理；三角形角平分線定理；比例性質，射影定理沒有明確要求；相似三角形的推理證明要求下降；3、圓的相關要求大大降低。

新增或提高部分。

代數方面1、用函數觀點統一方程(組)、不等式(組)：非常明確的提出，并作了詳細的介紹；突出了函數思想的重要性；2、利用圖像法求解方程(組)、不等式(組)：作了介紹，并在一些綜合題中有所體現；加強了數形結合的思想；3、用方程(組)、不等式(組)以及函數解決實際問題：要求大大提高，在每部分都進行了較為系統的訓練，但不同學生的差異較大、更注重數學應用意識。

這些我個人認為處理的非常好，函數思想，是貫穿初中數學、高中數學、大學數學的一個主線，用函數的觀點研究方程（組）、不等式（組），以及高中知識里面的數列等，典型突出了函數思想的重要性。

幾何方面（幾何方面新增內容為后續高中學習立體幾何，三視圖等知識打下了很好的基礎）

（1）簡單多邊形的重心；2、視圖與投影；3、幾何變換，這些內容的新增，為將來學生在高中階段對立體幾何、三視圖的學習打下了很好的基礎，所以高中學生學習三視圖的內容就相對簡單。

概率統計(為高中學習概率統計打下基礎)

（2）統計觀念的培養；2、掌握常用統計圖表的繪制，理解其意義；3、理解常用統計量的意義，會計算；4、概率：從初中教材中，學生了解了概率的意義，學生對“頻率穩定于概率”有了初步的理解；5、會用列舉法求解簡單的古典概型問題。這些內容在高中知識里面也是非常重要的，可見初中新增內容與高中教材新增內容在體系上保持了一致性，起到了很好的鋪墊作用。

2、數學學習心理上、習慣上的斷層分析

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1、運用類比思想挖掘初中數學教材，提高學生學習數學的自主性

類比是根據兩個或兩類事物的一些相同或相似的屬性猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比是提出問題，做出新發現的主要源泉，是科學研究最普遍的方法。

例如：在學生學完乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2后，可讓學生自行類比探索如何展開(a＋b)3與(a＋b＋c)2。這并不困難，其用意是教會學生觸類旁通、舉一反三。

我們更可從類比的種類與形式上著手，挖掘初中數學教材中可以進行類比思維訓練的內容。類比可以由性質、公式、法則的相似進行類比或推廣，可以由“數”或“形”的結構形式的相似類比，可以由解決問題的相似進行類比，還可以進行由有限到無限的類比，由低維到高維的類比，等等。

從具體內容上看，可以進行類比思維訓練的內容，在初中數學教材占有較大的比例。如類比于同底冪乘法法則推導的方法研究冪的乘方法則、同底冪的除法法則；類比于整數的因數分解研究多項式的因式分解；類比于二元一次方程組的解法研究三元一次方程組的解法；類比于分數的概念、性質、運算研究分式的概念、性質、運算；類比于合并同類項法則研究二次根式的加減法；類比于三角形的面積公式研究扇形面積公式；類比于直線與圓的位置關系研究圓與圓的位置關系，等等。

2、挖掘初中數學教材，加強學生歸納思維能力的訓練

歸納是對某一事物若干個體進行研究，發現它們之間的共性，然后由此猜想這類事物的總體也具有這種性質的思維方法。

例如，七年級上冊習題：由一些點組成三角形的圖形，每條邊(包括兩個頂點)有n(n＞1)個點，每個圖形總的點數S是多少?當n＝5，n＝7，n＝11時，S是多少?

又如在求多邊形的內角和的推導過程中，從三角形的內角和開始，推廣到四邊形、五邊形……，直至n邊形的內角和的推出。

通過這些有趣、能引起學生思考的題目，向學生逐漸滲透由特殊向一般轉化的歸納思維方法。

初中數學教材中可進行歸納思維能力訓練的內容還有不少。初中代數有關運算法則的引出幾乎全部使用的都是一般歸納法。從主觀上而言，初中學生還沒有進入使用邏輯思維的階段，這些法則不可能給出嚴格的邏輯證明。從客觀上看，這正是訓練學生歸納思維能力的最佳時機。如有理數的加減乘除運算法則，有理數運算的交換律、結合律、分配律、添(去)括號的法則，同底數冪的運算法則，整式乘除法的有關法則，不等式的基本性質。對一元二次方程根與系數的研究，可用歸納法進行探索發現；對函數圖像與性質的研究，是從個別具體函數的圖像與性質出發的，使用的也是一般的歸納法。如初中的正、反比例函數、二次函數。在平面幾何中，由三角形的內角和、四邊形的內角和研究n邊形的內角和可以使用歸納法。在圓這一章，對圓周角定理、弦切角定理的證明使用的是完全歸納法。除此之外，在教學過程中我們還經常對解題思路、解題方法或解題步驟及知識結構進行總結與歸納。這些都是總結、歸納思維能力訓練的體現，應盡可能讓學生自己來完成。

3、運用猜想推理，讓學生在質疑、釋疑的過程中獲取知識

以某些已知的事實和一定的經驗為依據，對數學問題做出推測性的判斷，就是猜想。

教師在處理教材時，注意引導學生“在沒有定理之前”的猜想。并引導學生思考定理、公式或例題所省略了的探索過程，要求學生對問題的處理應當是先“猜”后“證”。提倡猜想與推測，鼓勵創造性思維。在猜想過程中，教師注意應用多種教學工具：如“幾何畫板”、“TI計算器”等，啟發、引導學生思考及猜想，從而得出正確結論。

例如：在進行“直角三角形的性質”一節的教學時，對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”定理，即可利用幾何畫板軟件設計引入，引導學生猜想，并最后證明自己的猜想。

4、運用化歸轉化方法，幫助學生加強知識之間的聯系

化歸是指由未知到己知，由難到易，由復雜到簡單的轉化。

例如：在“梯形中位線定理”的教學時，小結后指出：在處理梯形問題時，我們常把梯形的問題化為熟悉的三角形問題來研究，并提供各種轉化的類型供學生練習。

在初中數學教材中可進行化歸轉化訓練的內容幾乎無處不在。例如在運算中，減法向加法的轉化，除法向乘法的轉化；解方程中，高次化低次、多元化一元，無理化有理；在對幾何圖形性質、面積、體積的研究過程中，復雜圖形向簡單圖形、基本圖形的轉化。

5、加強知識與生活的聯系，激發學生的數學熱情

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代數比算術高明，高明在一個“代”字上. 用字母來代替數，會使我們大開眼界.

用字母表示未知數，我們就有了解應用題的有力武器——方程.

用字母表示任意數，我們就有了各種各樣的公式、恒等式、不等式.

在解題的時候，如果你對“代”字深有體會，適當“代”一下，往往可以收到意想不到的效果.

有這樣一道題：

例1 已知方程ax2+bx+c=0（a，c≠0）的兩根為x1，x2，試寫出以，為兩根的一元二次方程.

這道題有多種解法. 有的同學老老實實用公式求出x1，x2，再算出，，并利用x-x-展開找到所要的方程. 有的同學不用解方程的方法，而用韋達定理求出：

+==-÷=-；

·==.

然后用根與系數的關系寫出要求的方程為：

x2+x+=0.

有的同學更妙，用“代”的方法. 設所要求的方程中的未知數為y，則y與原方程中的x互為倒數，即x=. 把它代入原方程，得到

a2+b+c=0.

去分母得到cy2+by+a=0.

這就是y應當滿足的二次方程！（注意，因為a，c≠0，故x，y都不會是0）

用“代”的方法，我們還能解決不少類似的題目. 比如要求一個一元二次方程，使它的根是方程x2+3x-2=0的根的3倍，怎么辦？好辦，設y=3x，則x=. 代進去一整理，便得到+y-2=0，也就是y2+9y-18=0. 這就是所要求的方程.

要求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的平方，怎么辦呢？只要設y=x2，則x=±，同樣可以代進去. 但是，這樣要用到根式，麻煩！可以變通一下，把原方程移項變成x2+q=-px，兩邊平方得

（x2）2+2qx2+q2=p2x2，

再用x2=y代進去，得到方程y2+（2q-p2）y+q2=0.

要是所求方程的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的立方，又該怎么辦呢？

第一步：由原方程得x2=-px-q，？搖①

兩端乘x，得到x3=-px2-qx.②

第二步：把①式代入②式右邊的第一項里面，得到

x3=-p（-px-q）-qx=（p2-q）x+pq，

也就是y=（p2-q）x+pq，故x=. 將其代到原方程里面，就得到y應當滿足的方程. 要留心的是，用p2-q做分母是不是合理，p2-q什么時候為0.

代，對解方程也有幫助. 一位學物理的大學生，碰到一個方程可以化成四次方程，但是很麻煩，可把他給難住了. 我們來看看這個方程.

例2 證明方程+=的根在任何條件下全是實的.

要是直接進行有理化，就成了一個四次方程. 如果仔細觀察一下，把分母的樣子變得對稱一些，會給解題帶來方便.

設x=y+，代入原方程就是+=，這樣的方程去分母后變成了2y2+=·y2-2.

這是一個特殊形式的四次方程，用代換y2=z可以化成二次方程. 下一步怎么做，你一定會了. 最后的解答是Δ≥0，也就是說，在任何條件下方程的根都是實的.

像這樣用代換使式子出現對稱形的方法，用處可不小. 例如，要證明當0≤x≤1時，有不等式x（1-x）≤，就可以設x=+y，因為0≤x≤1，所以-≤y≤. 把x=+y代入x（1-x），得到x（1-x）=+y-y=-y2≤，這樣便一下子就出來了.

用“代”的方法還可以從一個平平常常的事實出發，推出一些有用的、不那么明顯的式子. 例如，若A是實數，總有A2≥0，用A=x-y代入，得到（x-y）2≥0，展開之后便是x2-2xy+y2≥0，也就是x2+y2≥2xy. 當xy>0時，把xy除過去便是+≥2. 這就不很明顯了. 如果在不等式x2+y2≥2xy（xy>0）中，用x2=a，y2=b代入，便得≥，這就是用處很多的“平均不等式”！

剛才說的都是用字母代替字母，有時在一個公式里面用數字代替字母也有用處. 一位同學在分解因式時，把公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）錯記成x3+y3=（x+y）（x2+xy-y2）. 他覺得不對，但是又不能肯定，便設x=0，y=1，代進去試后發現左邊是1，右邊是-1，于是立馬肯定是錯了.

但是要注意，這樣驗證公式，如果兩端相等，并不能斷定公式沒記錯. 比如，如果他設x=1，y=0代進去，那么兩邊都是1，也就發現不了錯誤了. 比較可靠的方法是，用字母代替記不準的地方，比方寫成：

x3+y3=（x+y）（x2+axy+by2），將x=0，y=1代入，可求得b=1. 又將x=1，y=1代入，得2=2×（1+a+1），所以a=-1. 這樣就把公式找回來了.

這個辦法對記公式、恒等式很有用.

總之，“代”的方法用處很廣. 它可以把已知與未知聯系起來，把普遍與特殊聯系起來，把復雜的式子變得簡單而易于觀察，把平凡的事實弄得花樣翻新便于應用. 在學代數、解代數題時，同學們不要忘了在“代”字上多做文章.

實戰演練

1. （1）已知x2+bx+c=0的兩根分別為-1和3，那么b，c的值分別為多少？b，c與根的關系是什么（假設x1=-1，x2=3，用含x1，x2的式子表示）？

（2）已知x2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2，那么以（x1-x2）2和（x1+x2）2為兩根的一元二次方程是什么？

2 . 已知ax2+bx+c=0（a，c≠0）的兩根分別為x1，x2，那么以和為兩根的一元二次方程是什么？以5x1和5x2為兩根的一元二次方程呢？

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總復習不是知識的再現，而是通過總復習搞清楚知識的疑難點、混淆點的區別以及知識的內在聯系，從而引出知識的延伸、深化，達到徹底理解和掌握所學的知識，進一步提高解答數學問題的能力，從而有助于學生在中考中發揮出最好的水平，考出最好的成績。那么怎樣才能抓好初中數學總復習呢？筆者認為制定好切實可行的總復習計劃是抓好初中數學總復習的基礎和前提，這一點必須引起教師的高度重視。

在制定總復習計劃時，教師要認真研讀中考說明，弄清哪些知識是必考知識點、哪些是考試重點、哪些是考試的難點、哪些知識是以選擇題的方式出現、哪些知識是以填空題的方式出現、哪些知識是以證明題的方式出現、哪些知識是以計算題的方式出現以及哪些知識在中考中不涉及等方面的情況，以有利于在制定總復習計劃時更有針對性，也便于在復習過程中的側重和方向。接著，教師要認真閱讀教材目錄，并對照中考說明，把不考的章節、重點考的章節、難點章節一一做好標記，便于制定總復習計劃時一一落實考綱要求。只有這樣才能制定出高水平、高質量、有針對性和實用性的總復習計劃。

教師應注意復習方法，訂好復習計劃，一般分為三個階段：

第一階段，立足課本，抓好“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗）和“四個能力”（運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力及運用數學知識和方法、分析問題和解決問題的能力）。

第二階段，專題復習。讓學生在每一個專題知識中，弄通一類題型的解答，提高解題能力。在這個階段，教師要把同類、同質的知識點聚集在一起，選擇具有代表性的例題進行講解，講透每個知識點的基本含義、基本原理、出題的類型、深淺難度等方面的情況，便于學生準確有效地掌握該知識點。

第三階段，綜合訓練。適當地進行套題練習，增強學生的應試能力。綜合訓練選擇的試題深淺難度、題量大小、題型類別、分值分布等方面要和中考試題相匹配，以便提高學生練習的針對性和適用性。在學生每做完一套綜合題后，要及時批改，以便及時掌控學生的復習效果。同時對學生的習題做到有針對性的講解，凡是學生都懂的題不講，少數人不懂的課后單獨指導，普遍不懂的教師要重點講。在講完之后，可以建議學生把難理解或重要的習題摘抄到專用筆記本上，便于隨時復習和鞏固。

二 抓實抓好“四基”，鞏固基礎知識

復習中注意抓好基本概念的透徹理解，讓學生弄通它的內涵外延。充分發揮學生主體作用，通過回顧、聽講、練習或討論三步的復習課型的教學，真正落實復習是學生實現知識、能力“自我化”的重要環節。

如相反數這一基本概念，讓學生明白：零的相反數是零，a的相反數就是-a，這樣由有理數延伸到實數，如 的相反數是-（ ）或 。

在復習中，將新寓于舊之中，將技能寓于概念之中。例如理解 的相反數的倒數的絕對值，從而使根式有理化的技能也寓于這一概念之中，這樣將會收到舉一反三、觸類旁通的復習效果。

在抓“四基”復習中，將四基訓練納入判斷題、選擇題、填空題等題型中。做到在做練習、講練習題時鞏固和提高復習效果。對于個別由于“欠賬”特別多，“四基”把握得不牢靠的學生，不能讓他們繼續“缺腿少腳”了，教師要采取單獨輔導的形式幫助他們牢固掌握好相關知識，為下一步深入復習打下基礎。

例如2007年中考數學題（8）：

如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ABC∽ADE的是（ ）。

A.

B.

C.∠B=∠D

D.∠C=∠AED

本題的解答是在知道一個角的情況下，再添加一個什么條件可以使兩個三角形相似的問題。只要回顧“兩邊對應成比例，且夾角相等”或“兩角對應相等”的兩個三角形相似，便知A、C、D都能使兩三角形相似，故選B。

三 全面復習和專題復習相續推進，從兩個層面把握相關知識

全面系統的復習，是復習數學的基本要求。一般說來，首先根據教材復習一遍，選擇典型例題、習題講解練習，將學生遺忘了的知識信息又一次儲存在大腦里，使其切實掌握各章節的基礎知識，為知識的系統化打下基礎。然后，根據知識的系統性，分類分專題進行技能訓練。專題中的練習題的選擇，要注意針對性、啟發性、概括性、系統性、典型性、綜合性，以培養技能的靈活性為主，方能提高學生的解題能力。

四 注重知識縱橫聯系，構建完整的知識體系