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摘要：本文從自然數(shù)及其記數(shù)法的基本概念出發(fā)，辨析了與二進位制相關(guān)的幾個容易混淆的概念，指出序數(shù)概念的引入在近代數(shù)學發(fā)展中有重要意義，作為邵雍數(shù)學學派的數(shù)學基礎，先天易是數(shù)學史上第一個專門定義的序數(shù)體系，該序數(shù)體系在數(shù)學史上率先采用了二進位制記數(shù)法。先天易作為二進制序數(shù)體系這一事實在明清時期引起不同的反響，反對者認為它使易道淪落，大數(shù)學家汪萊則從P進制的角度論證它的優(yōu)越性。本文最后還對近年來反對先天易與二進制有關(guān)的兩種典型觀點進行了剖析，指出其謬誤所在。

關(guān)鍵詞：先天易；二進位制；序數(shù)；邵雍；汪萊

AresearchonthemathematicsfoundationintheprimordialYi

——ontheprimordialhexagrams''''orderandbinarysystem

Abstract:Departingfrombasicconceptsofcardinalnumbersandtheirnumberingorders,thepaperdifferentiatedandanalyzedsomeconceptseasytobeconfusedrelatedtobinarysystem,pointingoutthattheintroducedconceptsofordinalsplayedanimportantroleinthedevelopmentofmodernmathematics.AsthefoundationofSHAOYong''''smathematics,theprimordialYi,inthehistoryofmathematics,exhibitsthefirstspeciallydefinedordinalsystem,inwhichthebinarynumberingmethodwasusedatthefirsttime.Beingabinaryordinalsystem,theprimordialYiarouseddifferentrepercussions:opposerscensureditdebasedYi;While,departingfromtheangleofthePcarryingsystem,WANGLai,agreatmathematician,proveditssuperiority.Inaddition,thepaperalsoanalyzedtwotypicalviewpointsagainsttheprimordialYiandbinarysystem,toexposetheirfallacy.

Keywords:theprimordialYi;binarysystem;ordinals;SHAOYong;WANGLai

第一節(jié)先天易是二進位體系

一、二進位制的定義

易與二進位制問題的討論，實際上是關(guān)于自然數(shù)記數(shù)法討論。

二進位制是最簡單、最基礎的計數(shù)方式之一。生活中對二進制的掌握與運用，只須有一定的同異判別能力即可，對智力水平的要求比十進制低得多。不能因為電子產(chǎn)品廣泛應用二進制邏輯最簡單、最基本的特性而將它神秘化。

什么是二進位制呢？首先要搞清楚的是：什么是自然數(shù)？

下面我們從自然數(shù)及自然數(shù)記數(shù)法的一般定義出發(fā)，進行說明。自然數(shù)兩種基本定義：一稱為基數(shù)定義，表示個數(shù)；一稱為序數(shù)定義，表示順序關(guān)系。

基數(shù)就是帶單位的數(shù)量，是相對直觀的概念，反映一種原始的抽象思維，記錄實物對象的重復量，離不開實物對象，只需數(shù)個數(shù)的水平，如結(jié)繩計數(shù)，尚不需形成整體意識，對心智比較也不需有過多的要求，就像兒童都有過認得一些零散的數(shù)（個數(shù)），但分不清大小的經(jīng)歷一樣，在人類掌握排序概念以前，基數(shù)概念是最原始的數(shù)的概念。基數(shù)定義的自然數(shù)沒有排序功能，排序的概念則隸屬于自然數(shù)的序數(shù)定義。這是自然數(shù)的兩重天然屬性。一般認為，在19世紀下半葉之前，數(shù)學界對其中的區(qū)別并沒有清晰的認識。

順序關(guān)系是自然數(shù)序數(shù)定義的核心。對序數(shù)的認識和運用是人類智力水平的又一次飛躍。基數(shù)是實物對象的簡單影射，序數(shù)則擺脫了實物對象的約束，需要比基數(shù)更進一大步的抽象能力和比較能力，并有自覺的全域觀念。

任何用來表示順序的符號都是序數(shù)表示式，對使用者來說，都是自然數(shù)。如A、B、C、D，甲、乙、丙、丁，在生活中常用以表示順序，這時就屬于數(shù)的范疇，都是序數(shù)表示。甚至如座位三排五號也是序數(shù)，這種計數(shù)方法屬于自然數(shù)表示方式中的非位值進位制，它的位值用專用符號“排”和“號”來表示。可見，用來表示個數(shù)或序的符號都是自然數(shù)。

根據(jù)符號的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，自然數(shù)的表示法可分為非進位制、特殊位值進位制和位值進位制。非進位制是自然數(shù)的最原始的表示法，如簡單結(jié)繩計數(shù)形式。特殊位值進位制是指使用了進位的概念但借助專用記號表示位值，沒有通用的位值概念。如上面提及的三排五號就是這種表示法，‘三’與‘五’是不同位上的值，這里使用了進位的概念，并借助專用符號‘排’來表示進位，而不是直接利用基本符號本身的位置關(guān)系來表示進位，因此稱為非位值進位制或特殊位值進位制。由于受專用進位符號的制約，這種表示法使用起來有明顯的局限性。古代的很多計數(shù)法如埃及、希臘、羅馬的計數(shù)法都屬于這類進位制。比如古希臘半島采用27個字母計數(shù)法，從1-9用九個字母表示，10-90再用另外九個字母表示，100-900用剩下的九個字母表示，這種笨拙的特殊位值十進制計數(shù)法一直延續(xù)到文藝復興前夕。

位值進位制是先進的表示法，顧名思義，直接利用基本符號本身的位置關(guān)系來表示進位，即“它用同樣的符號利用位置關(guān)系表示高位值”，因此稱為位值進位制。由于使用了位值的概念，位值進位制原則上可以把自然數(shù)推至無窮而不會出現(xiàn)邏輯困難。用十個基本符號來表示就稱為十進位制，用兩個基本符號來表示就稱為二進位制。

二、與二進位制定義相關(guān)的幾個容易混淆的概念辨析

由于所有數(shù)系的基礎都是對象的可數(shù)性或有序性即自然數(shù)，因此自然數(shù)記數(shù)法隨著數(shù)系的擴充，依次可以自然而然地成為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復數(shù)的記數(shù)方式。對同一個數(shù)系來說，不同的記數(shù)方式是等價的，數(shù)系與記數(shù)方式之間不存在相互約束的關(guān)系。

在討論周易與二進位制這個問題時，二進制算術(shù)是一個常出現(xiàn)的提法，但它是一種概念不清的錯誤提法，因為算術(shù)法則是來自數(shù)系自身的邏輯內(nèi)涵的一種操作規(guī)定，只與數(shù)系自身有關(guān)，與記數(shù)法則毫無關(guān)系。采用同樣的記數(shù)法，只須對數(shù)系的定義進行一些簡單修改，它的算術(shù)就會面目全非。可見，在討論是否使用過二進制記數(shù)法這一問題的時候，把四則運算作為評判條件是錯誤的。

另外，有人以是否存在用二進制表示的小數(shù)作為二進制發(fā)明的判據(jù)，顯然也是錯誤的，因為記數(shù)法與數(shù)系之間不存在相互約束的關(guān)系，小數(shù)的發(fā)明遠在十進位制之后就是一個例子。

值得一提的還有二進制的基本符號問題。二進制記數(shù)法的基本符號只需且只能有兩個基本符號，而這兩個符號可以是約定的任意字符，0和1僅僅是符合要求的任意符號組合中的一組而已，這也是很容易引起想當然的誤會。也許是因為我們對阿拉伯數(shù)字太熟悉了的緣故，常常會誤解只有寫成0和1形式的符號系列才是二進位制形式。其實，為了避免與十進制阿拉伯數(shù)字符號混在一起，現(xiàn)代運用中更多的是采用T(true)和F(false)或L(left)和R(right)作為基本符號。

三、先天易是二進位制體系

首先，讓我們來總結(jié)一下成為二進位制的條件是什么？

1．必須符合自然數(shù)定義，即必須是用來表示數(shù)量關(guān)系或順序關(guān)系的符號體系。

2．基本的符號是不是只有兩個？

3．必須符合位值進位制的定義，即是否“用同樣的符號利用位置關(guān)系表示高位值”，而不是另外引入專用進位符號？

以上三個條件是一個符號體系稱為二進位制體系的充分條件。現(xiàn)就上述條件逐一討論。

1．邵雍先天易是用來表示抽象順序關(guān)系的符號體系。

這一點取得了幾乎完全的共識，看到圖就知道，這是非常顯然，無法辯駁的，幾乎所有的反對者都承認這一點。現(xiàn)最流行的觀點是西方漢學家葛蘭言提出來的，他斷言是碰巧而不是有意排出來的抽象順序，那也許是他沒有閱讀原著的結(jié)果。因為伏羲卦圖稱為伏羲八卦次序和伏羲六十四卦次序，圖名為次序，有什么理由說他們不是主觀上有意的排序？自邵雍以來，幾乎所有的易書對此都做了或繁或約的闡述，現(xiàn)舉朱熹對伏羲六十四卦次序圖的說明如下:

朱熹答袁樞曰：

若要見得圣人作易根原，直截分明，不如且看卷首橫圖，自始初只有兩畫，漸次看起，以至生滿六畫之后，其先后多寡，既有次第，而位置分明不費詞說，于此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來，圣人只是見得分明，便只依本畫出，元不曾用一毫智力添助。蓋本不繁智力之助，亦不容智力得以助于其間也。大家注意其中的“其先后多寡，既有次第，而位置分明不費詞說，于此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來”，說的就是先天易圖排列法則是依照大小多寡一個挨一個地排出來的，強調(diào)了其中的數(shù)(序號)意義。

2．邵雍先天易圖只用兩個基本符號即陰與陽來表示。

這是主要誤會所在，誤以為必須是0和1才是二進制，甚至認為必須用1代替“—”、0代替“--"才能稱為二進位制。盡管北宋以來有不少中國古代學者對二進位制的簡單換算性質(zhì)作了敘述，但與其它計數(shù)方式的換算不是二進位制自身是否成立的前提。

3．邵雍先天易圖無須引入專用進位符號，直接利用陰陽爻的相對位置表示位值，也就是說，利用了位值的概念。以往幾乎沒有人注意到這個問題。

可見，邵雍先天易是用“—”和“--"這兩個基本符號構(gòu)建的序數(shù)體系，二進位制記數(shù)法是先天易的邏輯基礎。

第二節(jié)先天易是專門定義的抽象數(shù)

我們知道，中國數(shù)學史所討論的內(nèi)容基本上都屬于算術(shù)范疇，在古代被稱為算學，即布算之學，重于計算技巧。而中國古代數(shù)學是專指邵雍為代表的研究傳統(tǒng)，即通過對抽象數(shù)的研究來探尋宇宙萬事萬物的內(nèi)在邏輯。俗言中心中有數(shù)、定數(shù)就是這個數(shù)。伊川說：“數(shù)學至康節(jié)始入理也。”《四庫全書提要》評述道：“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務完造化之源者，是為數(shù)學。”就是說：主張物的產(chǎn)生必有象為先導，象的產(chǎn)生必有數(shù)為基礎，對數(shù)的關(guān)系進行深入探究，以達到窮盡造化演化規(guī)律的學問稱為數(shù)學。上海古籍出版社《四庫術(shù)數(shù)類叢書》出版說明指出：“(數(shù)學)實際是指據(jù)《周易》陰陽奇偶之數(shù)推衍出來的象數(shù)說。”

邵雍是如何看待數(shù)的呢？《觀物外篇》說：

易有內(nèi)象，理數(shù)是也；有外象，指定一物不變者是也。

自然而然不得而更者，內(nèi)象內(nèi)數(shù)也，他皆外象外數(shù)也。

此就是說，象數(shù)可分兩大類：一是內(nèi)象，用以表示內(nèi)在的理數(shù)；一是外象外數(shù)，用以表示外在的具體事物及其相關(guān)的數(shù)據(jù)。前者指奇偶變化的法則，后者指天地風雷等變化的形跡。實際上，中西古代數(shù)學史所討論的數(shù)都是具體的數(shù)量，都是帶單位的數(shù)，即這里的外數(shù)。理數(shù)之稱，強調(diào)數(shù)自身的內(nèi)在邏輯性不是人的主觀所能安排或改變的，此即“自然而然不得而更者”，故稱其為內(nèi)數(shù)，他把內(nèi)數(shù)所具備的內(nèi)在的數(shù)理邏輯稱為“自然之道”。

換句話說，理數(shù)即是用于說理之數(shù)，強調(diào)其數(shù)之理，說明這種數(shù)的主要特征是具有內(nèi)在的邏輯性。內(nèi)數(shù)，指陰陽邏輯系統(tǒng)，用以研究事物的內(nèi)在所固有的數(shù)理邏輯。從數(shù)學學派的著作中可以看出兩種內(nèi)涵都有而前者是根本。中國數(shù)學史上的內(nèi)學和外學之分，常常是建立在這種概念基礎上的。研究抽象數(shù)理邏輯的數(shù)學稱為內(nèi)學，而研究具體數(shù)量關(guān)系的算學稱為外學。邵雍特地將體現(xiàn)“自然之道”的內(nèi)數(shù)即數(shù)理邏輯與通常所用的“指定一物不變”的指實數(shù)區(qū)別開來是有其目的的，其目的是要將他所倚重的內(nèi)數(shù)即數(shù)理邏輯發(fā)揚光大，做為他理論的基石。

邵子將數(shù)分成內(nèi)數(shù)與外數(shù)兩種性質(zhì)完全不一樣的系統(tǒng)，在數(shù)學史上是一個獨具慧眼的發(fā)現(xiàn)。根據(jù)抽象數(shù)學發(fā)展的需要，現(xiàn)代數(shù)學中把數(shù)分為抽象數(shù)(即不名數(shù)AbstractNumber)和名數(shù)(ConcreteNumber)兩類（見（臺）《中山自然科學大辭典》第二冊《數(shù)學》P33～78）。抽象數(shù)（不名數(shù)）的定義是：“任意單純的數(shù)，與任何特別的事物無關(guān)，除非這些事物具有數(shù)的性質(zhì)，主要用以表示與名數(shù)的差別。”而名數(shù)的定義是：“一數(shù)附于特別的事物或單位，例如三個人或三小時等，此數(shù)及其所涉及者并稱為名數(shù)。”

這種劃分與邵雍關(guān)于內(nèi)數(shù)與外數(shù)的劃分基本上是一致的，邵雍定義中的外數(shù)是“指定一物而不變者”，就是現(xiàn)代定義中的名數(shù)；而內(nèi)數(shù)是用以表達數(shù)之理，其定義除了與抽象數(shù)的定義一樣強調(diào)“與任何特別的事物無關(guān)”之外，還側(cè)重強調(diào)其邏輯具有淺顯(自然而然)而嚴密(不得更者)的特征，表明它主要是用來探尋事物的內(nèi)在規(guī)律性(自然之道)。內(nèi)外數(shù)的劃分，標志著中國中古時期存在相當成熟的理性思考，增添了傳統(tǒng)科學中研究抽象關(guān)系的純粹科學特色。邵雍開創(chuàng)的學術(shù)傳統(tǒng)，被稱為數(shù)學。《四庫全書》列有數(shù)學專目，而《古今圖書集成》也有理數(shù)部，專門收集數(shù)學學派代表作。

第三節(jié)邵雍數(shù)學學派關(guān)于二進制序數(shù)換算問題的討論

邵子先天易作為二進位制序數(shù)體系無疑是成立的，就像不能說只把寫成阿拉伯數(shù)字形式才算是數(shù)字一樣，無論從何角度也不要求非得把它換算成十進制不可。

理數(shù)是序數(shù)體系，有別于通常所用的基數(shù)體系。在介紹相關(guān)換算之前，有必要介紹兩者在計數(shù)方式上的微小差別。基數(shù)從“沒有”（0）開始，序數(shù)從“第一”開始。在十進位制表示中，從0到9十個基本記號來自基數(shù)的自然表達，對應于序數(shù)則是從第一（即以第“零”為一）到第十。同樣的基本記數(shù)符號所代表的序數(shù)比基數(shù)多1,即n進制中符號系列a1a2…am所代表的序數(shù)為（a1a2…an）n+1。這種概念上的區(qū)別有非常明確的物理意義，如狀態(tài)函數(shù)ψ(000)代表第一個狀態(tài)（基態(tài)）。

先天易是以太極(陽)為基礎構(gòu)造的系統(tǒng)演化理論，在陰陽的關(guān)系上邵雍《觀物外篇》指出：

陽不能自立，必得陰而后立，故陽以陰為基。陰不能自見，必待陽而后見，故陰以陽為唱。

邵雍數(shù)學學派以數(shù)為出發(fā)點，理從數(shù)中來。因此這里首先講數(shù)（陰陽）的關(guān)系。根據(jù)陰陽特性和“一每生二，自然之理”法則，陽爻相當于零值，陰爻相當于位值。“陽以陰為基”是說假如沒有陰爻在高位，陽爻的個數(shù)對序的大小不產(chǎn)生影響，即高于位值（陰）的零值符號（陽）對序沒有貢獻，所以稱陽爻以陰爻為基。例如：陰“--”其對應序數(shù)為2，即(1)2＋1＝2；“兌”亦對應于序數(shù)2，即(001)2＋1＝2。

“陰以陽為唱”是說低位的陽爻高位的陰爻代表的位值倍增。例如：陰“--”其對應序數(shù)為2，即(1)2＋1＝2；“巽”其對應序數(shù)為5，即(100)2＋1＝5。

兩句話說的是陰爻與陽爻在構(gòu)成二進位制數(shù)的具體過程中表現(xiàn)出來的相互依存的兩種不同的作用。即以陽為0，以陰為1高位在下的二進位制自然數(shù)。在《皇極經(jīng)世書》中，“唱”與“和”均通用為相乘算法。下面我們從一個有趣的例子來介紹先天易中對二、十進制換算的處理。南宋張行成在《易通變》(又名《皇極經(jīng)世通變》)卷一中說：

乾兌離震巽坎艮坤者，名也，名所以表其德；一、二、三、四、五、六、七、八者，數(shù)也，數(shù)所以定其位。位者，體也，故有位斯有卦；德者，用也，故有卦斯有爻。卦者，體也；爻者，用也。先天圖反觀之則乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。乾坤坎離四卦不變，余四卦則震艮巽兌互相易矣。天之一、三不變，二、四變；地之六、八不變，五、七變。

卷三十八則有如下論述：

卦自內(nèi)觀之，則乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八；卦自外觀之，則乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。

先天卦數(shù)即大家都很熟悉的乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。張行成說，從內(nèi)往外讀，即初爻為高位，卦的理數(shù)值是這個結(jié)果。假如反過來，自外往內(nèi)讀，即上爻為高位，則是乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。

下面依上述“陽以陰為基，陰以陽為唱”的規(guī)則，轉(zhuǎn)換成十進制值。若高低位的規(guī)定對換，則乾坤坎離四卦表示值不變，而震與艮、巽與兌的表示值互相交換。

乾(000)2＋1＝1；

坤(111)2＋1＝8；

坎(101)2＋1＝6；

離(010)2＋1＝3；

震由(011)2＋1＝4變成(110)2＋1＝7；

艮由(110)2＋1＝7變成(011)2＋1＝4；

巽由(100)2＋1＝5變成(001)2＋1＝2；

兌由(001)2＋1＝2變成(100)2＋1＝5。

第四節(jié)明清時期對先天易二進位制的兩種典型觀點

一、王夫之斥先天易淪為算士銖積寸壘的小術(shù)

現(xiàn)代人對先天易卦衍生序的討論都盡量限制在哲學范圍之內(nèi)。而從我們上面的討論中可知，先天易卦符號首先是數(shù)的符號，然后在此基礎上討論包括哲學在內(nèi)的其它問題。先天易符號二進位制數(shù)結(jié)構(gòu)對明清學者來說是簡單的事實。他們分歧的焦點在于強調(diào)二進位制數(shù)結(jié)構(gòu)的先天易模型能否規(guī)范萬物萬象。作為邵雍數(shù)學學派的主要反對者，王夫之在評論邵雍以加一倍法演先天易時說：

教童稚知相乘之法則可，而與天人之理毫無可取。使以加一畫即加一倍言之，則又何不可加為七畫以倍之為一百二十八，漸加漸倍，億萬無窮，無所底止，又何不可哉？不知《易》但言四象生八卦，定吉兇，生大業(yè)，初不可損羲爻，益而為四爻，五爻。此乃天地法象之自然，事物通變之定數(shù)，不可以算士銖積寸壘，有放無收之小術(shù)，以亂天地之紀也。

邵雍、蔡西山之道，可勿僅以數(shù)學名也。始姑就之，天下趨焉；終遂耽之，大道隱焉。(《續(xù)春秋左傳博議》卷下)

在他看來，先天易僅僅是算博士“銖積寸壘，有放無收”的雕蟲小技而已，與大道無涉，也正是由于過分強調(diào)二進位制數(shù)學特性而失去了詮解大道的資格。

二、汪萊從P進制角度論證二進制的優(yōu)越性

汪萊是清朝乾嘉時期杰出的數(shù)學家，也是中國古代著名的數(shù)學家。著有《衡齋算學》七卷、《衡齋遺書》九卷。因不滿考據(jù)家因循復古的陳腐風氣，郁郁不得志，以致英年早逝。

當時考據(jù)家以非兩漢正統(tǒng)為由對邵雍數(shù)學學派進行全面否定，而從汪萊數(shù)學名著《參兩算經(jīng)》則可以看出他對邵雍觀物思想和先天易情有獨鐘。

《參兩算經(jīng)》全文不足千字，分為《原始》、《立綱》、《匯奇》、《列偶》、《會歸》，最后為《參兩數(shù)說》，共六部分。文字極為凝煉，其中《原始》、《立綱》、《會歸》各僅僅30余字。

其中《原始篇》曰：

端居觀物，情契先天，見象數(shù)之紛紜，其可斷者不外乎參兩，乃著之則以示來者。

此篇為前言，講明此算經(jīng)的寫作目的。在當時觀物之學極為尷尬的形勢下，“端居觀物，情契先天”八個字包含的情感非同一般。

《立綱篇》：

立數(shù)在十，算如常法。或上或下，逢身進位。立法少實，即命為法，立法過實，盈實進一。大綱若此，諸數(shù)以定。

此為算法總綱，講任意進制的乘除法及整除性法則。《匯奇篇》和《列偶篇》則分別為奇數(shù)進位制與偶數(shù)進位制的乘除法及整除性研究。

《會歸篇》是本經(jīng)的結(jié)論部分：

曰參曰兩乃數(shù)之原。立數(shù)于參，二乘一一。立數(shù)于兩，一乘不煩。是以生諸數(shù)之法而不受裁于法。

通過上面的討論，結(jié)論是二進制乘法口訣最簡單，只需一算式，即一乘一等于一，并強調(diào)了二、三進位制的優(yōu)越性，推之為“乃數(shù)之原”，旨在闡述他對“參天兩地而倚數(shù)”的數(shù)學理解。

天津師范大學李兆華教授對汪萊數(shù)學著作有深入的研究，他在《汪萊〈遞兼數(shù)理〉、〈參兩算經(jīng)〉略論》(吳文俊主編《中國數(shù)學史論文集（二）》)一文的最后指出：

《參兩算經(jīng)》一書，提出了采用各種進位制的原則是“審法與數(shù)之宜”以求運算的簡便與結(jié)果的準確，足見汪氏治算觀點之高。汪氏又具體地給出2≤p≤10時各種進位制中的乘除表并深入地討論了p進制中的“整除性”問題，在中算史上是空前的。p進制的研究是隨著本世紀四十年代電子計算機的產(chǎn)生而發(fā)展起來的，而中國的數(shù)學家在電子計算機產(chǎn)生之前一百余年對p進制的運算和理論達到如此熟練與深入，實在是值得驕傲的事情。

最后應該指出，這兩篇著作都涉及到《易經(jīng)》。《易經(jīng)》究竟給予汪氏怎樣的啟發(fā)?怎樣評價《易經(jīng)》的這種影響?這是中國數(shù)學史研究中一個帶有普遍性的問題。這個問題需要哲學史與數(shù)學史工作者共同努力才能給出實事求是的回答，本文姑從略。

盡管在上述論文中，作者刻意回避二進位制問題及相關(guān)評論，但是，從汪萊原著中我們不難看出，二進位制是《參兩算經(jīng)》的一個核心而且與邵雍先天易有千絲萬縷的關(guān)聯(lián)。

第五節(jié)從皮亞諾序數(shù)公理出發(fā)論證先天易是完備的二進位制

邵雍數(shù)學學派發(fā)現(xiàn)并廣泛使用二進位制是不必費多少筆墨就能說清楚的事實，本文的主要目的在于從序數(shù)公理出發(fā)論證邵子先天易是完備的二進位制序數(shù)體系。序數(shù)體系的建立是抽象數(shù)學的基礎。邵子先天易是第一個有明確定義的序數(shù)體系，也就是第一個抽象數(shù)學體系。

自然數(shù)的概念在數(shù)學上一直被當做最明顯，最基本的概念來應用，直到上世紀末，在數(shù)學的公理化方法發(fā)展的影響下，才提出“自然數(shù)是什么”的問題。基于自然數(shù)的兩種功能層次，即表達個數(shù)的概念和表達順序的概念，19世紀末出現(xiàn)了著名的康托爾基數(shù)公理和皮亞諾序數(shù)公理，從數(shù)學邏輯的角度對什么是個數(shù)和什么是順序號作出定義。

大家都知道，個數(shù)和順序都是顯而易見的概念。但從文明發(fā)展的角度來說，異同概念的出現(xiàn)是理性的起點，個數(shù)概念的出現(xiàn)是一個巨大進步，順序概念的出現(xiàn)又是一個巨大的進步。對個數(shù)（基數(shù)）和順序（序數(shù)）作出規(guī)范定義將大大方便文明史的研究，也有助于抽象數(shù)學本身的發(fā)展。

基數(shù)就是個數(shù)，是最原始的、很直觀的數(shù)的概念，判斷掌握基數(shù)概念的標準是只需有一一對應地數(shù)個數(shù)能力，尚不要求形成整體意識，也不要求有一般的比較概念。自然數(shù)的基數(shù)理論，即康托爾基數(shù)公理，是以集合和一一對應的概念為基礎來定義的。由于在定義中不能隱含順序概念在里面，使用集合的概念來定義是非常巧妙的，但也相當拗口。

給定兩個集合A、B，如果存在一個規(guī)則f，對A中的每一個元素a，在B中唯一確定b（即a在f下的像），而B中任一元素b均由A中某一相應元素a唯一確定，那么就說f是A到B的一個一一對應。存在一一對應的兩個集合稱為等價的，取定一個集合A，把所有與A等價的集合放在一起，作成一個集合的類W，W中所有集合所共有的屬性稱為A的基數(shù)，簡言之，類W本身就稱為A的基數(shù)。集合的基數(shù)實際上就是集合中元素的個數(shù)。

自然數(shù)的序數(shù)理論是利用兩個的基本概念第一個(first)與下一個(next)以及四個公理來定義的。第一個通常可以記為1，不過不如記為n0更有普遍意義。所謂自然數(shù)（序數(shù)），是指滿足以下性質(zhì)的集合N中的元素：

1）n0是N的一個元，它不是N中任何元的后繼者，若n的后繼者用n＋來表示，則對于N中的任意元n,n＋不等于n0。（注：n0是指定的順序起點而不作證明）。

2）對于N中任意元n,存在而且僅存在一個后繼者n＋。

3）對N中任何兩個元n和m,若n＋＝m＋，則n＝m.

4）N的一個子集M，若具有以下性質(zhì)：

①n0屬于M；

②對于任意m屬于M，必有m+也屬于M；則M＝N

皮亞諾公理指出，要建立一個順序概念首先要選定一個順序的起點“第一個”(first)，其次需要規(guī)定一個順序操作“下一個”(next)或稱為“后繼者”，有了這兩個概念，就能定義一個序列，也就是序數(shù)。序數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學的基礎概念，具有廣泛的適用性。

下面以排隊為例對皮亞諾公理進行說明，理論上隊列可以無窮長。其中公理一是說：第一個是絕對的，不能存在“第一個”的上一個，比如排隊時你排在前面第一個，就意謂著隊列中沒有比你排在更前面的。

公理二是說：隊列中任何人的下一個必有但也只能有一個，不能多個。

公理三是說：對任何人來說，如果他后面一個位置的序號已經(jīng)知道（確定），那么他本身的序號也就定了。

公理四是說：假如原來隊列的第一個另排一行，第一個的“下一個”，“下一個”的“下一個”全部依次跟過來，那么新隊列和老隊列是等價的。

這樣定義的自然數(shù)稱序數(shù)，以區(qū)別前者定義的基數(shù)，是專門針對“第幾”這個問題而定義的。基數(shù)起于感性量的簡單同異比較，用于描述感性的、形象的數(shù)量，而序數(shù)是基數(shù)的進一步抽象，是思維進一步發(fā)展的產(chǎn)物，用于描述理性的、抽象的關(guān)系量。

各種已知的古代數(shù)系，基本上都經(jīng)過從基數(shù)到序數(shù)的過程，首先用以表示“幾個”，然后才抽象出表示“第幾個”的涵義。但除了先天易之外，還沒有出現(xiàn)經(jīng)過定義的序數(shù)體系。

專門把表示順序的序數(shù)與表示個數(shù)的基數(shù)從基本定義上區(qū)分開來是數(shù)學向抽象化發(fā)展的要求，也是抽象數(shù)概念產(chǎn)生的基礎。邵子先天易就是專門定義的序數(shù)體系。為敘述方便，用Y表示先天易體系。下面從皮亞諾四個公理出發(fā)逐一論證說明先天易符合序數(shù)定義，是從序數(shù)的角度來定義的。

有明確的順序起點定義，先天易從乾(太極)開始演化，是序列的起點。

有明確的次序定義，正如朱熹所說的“其先后多寡，既有次第而位置分明，不費詞說，”、“全是天理，自然挨排出來”、“無不曾”、“亦不容”、“智力添助”。又是“未知其所窮”的“有放無收”的系統(tǒng)，這就是說，系統(tǒng)Y是依多寡自然挨排即按多寡一個緊挨著一個排出來的排列，元素與元素之間的先后次序是固定不變的，元素的個數(shù)又是無窮的，故每個元素y必有固定的唯一的后繼者y＋。

根據(jù)Y系統(tǒng)上的特征，每一個后繼者y＋，前面必有唯一固定的元素y。這是顯然的。

設W是Y的一個子集，即W中的元素全部是Y中的元素，

假定I：乾一(y0)是W中的元素；

II：W中任意元w，其后繼者w＋也是W中的元素。

則W與Y等價。

證明：從前提W是Y的一個子集出發(fā)得知，W中每一個元素都是Y中元素，不存在屬于W而不屬于Y的元素。

從假定一得知Y序列的第一個元素y0也是W中的元素，Y中不可能有在y0前面的

元素，而W中的元素都是Y中的元素，因此W中y0也是第一個。

根據(jù)假定二，W中任意元素的后繼者都是W中的元素，從y0出發(fā)逐一加一的生成的元素都是W中的元素，同時這本來就是Y的定義，所以Y是W的子集。又前提中W是Y的子集，所以W與Y等價。

由于進位制是自然數(shù)自身表達的模式，先天易系統(tǒng)Y是自然數(shù)序數(shù)系統(tǒng)，在內(nèi)部結(jié)構(gòu)上，任意大數(shù)均表示為奇偶兩個符號的迭加，并利用非零符號所在相對位置的不同表示位值的不同。所以先天易系統(tǒng)Y是二進位制自然數(shù)體系。為了脫離數(shù)量與單位等具體特征的約束，先天易從單純序數(shù)的角度來構(gòu)建自然數(shù)序列，開抽象數(shù)學之先聲，它的意義必將逐步得到人們的重視。

第六節(jié)《周易》與二進位制問題散記

近數(shù)十年來，國內(nèi)否定周易與二進位制有關(guān)的運動有兩個學術(shù)源頭，一個是李約瑟《中國科學技術(shù)史》中綜述，另一個是80年代英國E.J.愛頓的一篇短文。之所以稱之為運動，那是因為大家似乎都不約而同地隱含著對研讀原著的不熱心甚至鄙視。下面是有關(guān)這個問題的三段筆記，以此獻諸同好。

一、葛蘭言的碰巧說

從近現(xiàn)代西方學術(shù)界的角度看，自從認識二進位制數(shù)之伊始，就與《周易》結(jié)伴而行。西方第一篇關(guān)于二進位制的文章發(fā)表于1703年，是萊布尼茲在《皇家科學院紀錄》上發(fā)表的，標題為《二進制算術(shù)的解說》，副標題為“它只用0和1，并論述其用途以及伏羲氏所使用的古代中國數(shù)字的意義”，作為對中國哲學的介紹加以高度評價。以后周易與二進制問題作為東方文化的一個特色一直引起西方學者的廣泛注意，他們對從浩瀚的易圖進行研讀，得到了很多有益的成果。一直到本世紀二三十年代，幾乎沒有人對中國古代二進位制的發(fā)明權(quán)表示懷疑或商榷。

正如李約瑟所說的，“要是在十多年前，這個論題可能到此就結(jié)束了。但是晚近的發(fā)展表明，萊布尼茲的二進制算術(shù)遠遠不單純是歷史上一樁奇事而已。”近幾十年來由于電子技術(shù)中的應用發(fā)展使某些西方學者對中國古明二進制這一結(jié)論越來越不能接受，于是有個宣判性質(zhì)的工作由漢學家葛蘭言先生給出的，在沒有研究或者說沒有讀懂中國古代原始文獻的前提下葛先生作了激烈的判決。他說，哪怕是承認六十四卦序與萊布尼茲二進制有一點點最低的共同基礎的想法都是理所當然應該摒棄的，因為“發(fā)明六十四卦的那些人所關(guān)心的只是用長棍和短棍這兩種基本原件來形成一切可能的排列與組合。這些一經(jīng)形成之后，顯然有好幾種同樣合乎邏輯的排列也是可能的。事實上，其中有兩種最后獲得了極大的重要性，雖然其他排法也不難設計出來。把數(shù)學的意義歸之于六十四卦，其主要的缺點是，沒有什么東西是比任何一種定量計算更遠離古代《易經(jīng)》專家們的思想的了。”李約瑟指出“葛蘭言已充分地表明了這一點”。“至于研究用陰爻和陽爻的反復交替組成六十四卦的‘變易’的占卜者，他們可以被認為是在進行簡單的二進制算術(shù)運算，但是他們在這樣做的時候，肯定是并沒有認識到這一點的。我們必須要求，任何發(fā)明——無論是數(shù)學的或是機械的——都應該是有意識地作出來并能供使用的。如果《易經(jīng)》占卜者不曾意識到二進制算術(shù)，而且也未曾加以使用，那么，萊布尼茨和白晉的發(fā)現(xiàn)就僅僅具有如下的意義，即在邵雍的《易經(jīng)》解說中所表現(xiàn)的抽象順序系統(tǒng)是碰巧與包含在二進制算術(shù)中的抽象順序系統(tǒng)相同而已。邵雍在他的《易經(jīng)》六十四卦排列中偶然碰到并由萊布尼茨使人意識到的二進制算術(shù)，可以說是在一種十分真實的意義上早在它被人發(fā)現(xiàn)適合于現(xiàn)代人的大型計算機之前，就已經(jīng)被用來構(gòu)造哺乳動物的神經(jīng)系統(tǒng)了。”

這里稱之為宣判而不是研究，是因為這個工作本身更像是一個武斷而措詞激烈的宣言而不是研究，是因為他這種對宣判對象邵雍數(shù)學學派起碼的常識不知道也不屑于涉及的方式更像一個西方傳統(tǒng)上的宗教審判。葛氏宣判中涉及的易學常識性笑話就不值得一說了，下面講講行文中的數(shù)理常識錯誤。

葛氏對什么叫排列，什么叫組合，搞不清楚；對什么是二進位制也只有一些感性的印象；當然對排列、組合與序數(shù)概念關(guān)系問題更是一片模糊。排列是建立序數(shù)(自然數(shù))的基礎上的抽象的概念，也就是排順序。其中排列項本身就是序號的代表，從排列本身的意義上說，就是序數(shù)，也就是自然數(shù)記號。由兩種基本符號就可以完全表達的順序記號系統(tǒng)本身就是二進位制自然數(shù)，完全與這兩位基本符號的具體形式無關(guān)，無論是陰與陽還是長棍與短棍，或者是0與1，都是可以作為二進制基底的等價表示，因為它們是同構(gòu)的。

組合是在排列概念的基礎上進一大步的抽象思維能力，從人類智力發(fā)展進化進程上說，要求更高的智力水平，必須相對抽象的分析比較能力和一定的全局概念為基礎。就是說，序數(shù)概念是排列行為的必然前提，組合概念是排列基礎上的智力飛躍。它們都是依從于順序概念的理性活動，自然是有意識的，離開了對順序概念的自覺，還能稱為排列和組合嗎？另外，數(shù)學就僅僅等于定量計算么？

為了解釋先天易圖中的陰爻和陽爻，有學者提出更無稽的暢想：“卦的線條倒不見得代表占卜用的長短棍，而是更多地與自古以來中國肯定在使用的算籌有關(guān)。因此，這些符號可能是來源于使用一種以5為基的算術(shù)，由細線或斷線代表其值為1的算籌，而粗線或不斷線則代表其值為5的算籌。”這就是李約所說的“更說得通”的巴爾德設想。不知為什么不從原著出發(fā)？假如讀不懂的話又有什么資格瞎編呢？這就是二三十年前徹底否定中國祖先發(fā)明二進位制的補臺大作，它替葛氏給陰爻和陽爻想出了一條出路，這是邵子或朱子原著中找不到的。于是宣判結(jié)束，意見得到統(tǒng)一，萊布尼茲以來幾百年的西人都錯了，“愚笨”的中國古代變易論者怎能和創(chuàng)造奇跡的二進位制相聯(lián)系呢？

說巴爾德對易學完全不了解，那不是事實，他用二進制轉(zhuǎn)化為普通數(shù)字的方法從卦圖中“發(fā)現(xiàn)了各式各樣的幻方”，由于“從《易經(jīng)》得出的幻方卻頗為復雜，因而很難使人相信，中國的變易論在他們編排六十四卦時在內(nèi)心里曾有過任何這樣的思想”。這就是李約瑟的觀點，當然也是巴爾德的觀點。

以上引用材料均見于李約瑟在《中國科學技術(shù)史》中對這一問題的爭論的總結(jié)，下面總結(jié)一下葛蘭言與巴爾德所代表的學術(shù)界的一致性意見：

A．邵雍的《易經(jīng)》解說中所表現(xiàn)的抽象順序系統(tǒng)本身就是二進位制系統(tǒng)。

B．假如這種順序關(guān)系本身對他們來說是有意義的，也就是說，意識到兩符號(即陰爻和陽爻)的組合可以用來表示順序，甚至已經(jīng)用來表示順序，那么他們就已發(fā)現(xiàn)了二進位制，或者說，他們對位值和零有了某種理解；

C．反之，假如不是有意而是碰巧排出來的，他們就沒有發(fā)現(xiàn)二進位制，也就是說，并不能用來說明他們對位值和零有了某種理解。

D．一致性意見是：他們是碰巧排出來的并不是有意用來排序的，所以僅僅是與萊氏不謀而合的抽象順序系統(tǒng)而已。

可見關(guān)鍵是意識到還是沒意識到這種抽象順序，亦即意識到與否兩符號(即陰爻和陽爻)的組合可以用來表示順序。答案是顯然的，因為這正是先天易的特點。

其實，要是像他們所說的那樣是“碰巧”而非“有意”，那才是大大的奇跡呢！下面我們先算算這種概率。

“與萊氏的數(shù)不謀而合的抽象順序系統(tǒng)”是指伏羲六十四卦次序圖和方位圖。實際上圖中共有三個排序，均符合二進位制法則。每一個碰巧排出的概率均約為2/64!，即大約為1/1089，遠遠低于不可能事件的概率要求。假如是“碰巧”而非“有意”排出，則三個排序互為獨立事件，同時得到的概率約為1/10267，當然也是絕對的不可能事件。為了幫助形象地理解這個概率，下面作個說明。根據(jù)相對論和量子力學的共同要求，宇宙中有靜質(zhì)量的基本粒子總數(shù)上限是1080，宇宙從生到滅約有150億（1.5×1010）年，一年約有三千萬（3×107）秒，人生百年約有3×109秒，整個宇宙“一生”約有5×1017秒。可見有些話說起來輕巧，其實并沒那么簡單，假設整個宇宙從誕生到滅亡的所有時間內(nèi)都在按葛蘭言所說的方法進行無意識的排序活動，也不可能為碰巧說提供概率上的保證。因此，先天易圖只能是有意的而非碰巧的排列結(jié)果。實際上大量的古代文獻雄辯地證實了這一點，如圖的名稱就是卦序圖或次序圖，即已直截了當點明圖是次序圖，用于排序，并說明是用“一分為二，二分為，四分為八……”的方式構(gòu)造的，既然是排次序，圖中符號系列即是序號。這里從概率的角度加以論證是為了說明即使在沒有其他文獻的情況下也不能輕易下“碰巧”的結(jié)論。另外葛氏等人把作為人類智能活動的產(chǎn)物與自然存在混為一談，進行偷換概念也是相當不合適的。按照他們的邏輯，早在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律之前的150億年，萬有引力定律“可以說是在一種十分真實的意義上”“就已經(jīng)被用來構(gòu)造”宇宙中物質(zhì)系統(tǒng)啦。

二、愛頓用分離表解釋先天圖

還有一位英國的E.J.愛頓在80年代為邵雍先天圖的產(chǎn)生設計了一個極有創(chuàng)造性的莫名其妙的明暗兩種矩形投影分離表，據(jù)稱用這種投影分離表可以復原先天圖，這位富有想象力的學問家于是斷言，盡管白晉寄給萊布尼茲的木版伏羲六爻排列圖“確實表現(xiàn)出與某種數(shù)的體系的相似性”，但是，它“是邵雍利用分離表復原而成的。明暗兩種矩形分別加以區(qū)別的伏羲排列圖的六爻組成，并不能使人想到它與容易理解的數(shù)體系的聯(lián)系。”當時權(quán)威學術(shù)刊物的《科學史譯叢》隨即進行了翻譯介紹，成為十幾年來的一個學術(shù)棍子，有的權(quán)威人士甚至認為應把有關(guān)周易與二進位制的討論當成國恥來看待。E.J.愛頓的結(jié)論成了最新的權(quán)威結(jié)論，在各種文獻中的引證不下千次，竟沒有一個引證中對這個莫名其妙的分離表表示懷疑，樂于以此為評判標準甚至終極真理的中國學者，似乎并不樂于花半小時的時間查證一下相關(guān)的古代原著。也許是在一段時期內(nèi)，對學術(shù)問題進行缺席審判早已為大家所熟視了，而且怕踩高壓線、跟風附和似乎已經(jīng)形成了慣性，老成之士當然也樂于繼續(xù)慣下去。

三、萊布尼茲說了些什么

其實，萊布尼茲本人對二進制的研究到底到了什么程度，諸公很少論及。英國哲學史學會秘書、萊布尼茲學會負責人麥唐納．羅斯教授的教科書《萊布尼茲》第二章《數(shù)學》的第二節(jié)《二進位制算法》中在充分介紹和高度評價二進制本身的偉大意義之后指出，二進制對萊布尼茲來說“除了一個非常模糊的草稿而外”，更重要的意義是“神而上的”，而且與他的發(fā)明計算器算法毫無關(guān)系。這個“非常模糊的草稿”本身羅斯并沒有太大興趣，于是他用不少筆墨引用萊布尼茲的“神而上”文獻。現(xiàn)摘如下：

或許只有一個東西能夠獨立地被設想，那就是神本身——還有無，或者說不存在。這可以通過一個極好的類比弄清楚，……〔他概略地論述了二進制記數(shù)法，并繼續(xù)說：〕我這里不打算論述這種體系的巨大用處；只要指出所有的數(shù)通過一和無的方式加以表達是何等的美妙就足夠了。然而，盡管事物隱秘的秩序使一切事物都產(chǎn)生于純存在和無這點成為自明的，而人們并無希望在此生中就能達到這種秩序，但是對觀念的分析來說，進行證明真理所必須的程度也就足夠了。

羅斯接著寫道：

萊布尼茲對這個思想感到很驕傲，以致他打算用一個刻有銘文的紀念章來紀念它。銘文是：“G.W.萊布尼茲所發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造物的典型。”以及“為了從無中派生出一切來，一就夠了。”

羅斯在總結(jié)性評價中說，“僅就與萊布尼茲有關(guān)而言，這一發(fā)現(xiàn)最重大的意義是形而上學方面的，或者更確切地說是神而上的，因為它說明了整個宇宙如何可以看成是由數(shù)所構(gòu)成的。”對邵雍數(shù)學學派比較熟悉的專家不難發(fā)現(xiàn)，上述觀點似曾相識，兩者有沒有內(nèi)在聯(lián)系，還須請熟悉中西比較的專家從更大視角加以研究。