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1數學單元教學設計

單元教學是指教師依據系統論、認知主義和建構主義等教學理論，以學科核心素養為目標，以單元為教學內容的一種教學方式［2］．單元教學設計是把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行的整體設計［3］．這個數學教學觀，實質上就是《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《課程標準》）所倡導的整體教學觀，單元（主題）教學設計正是落實整體教學觀的課堂教學實施方案［4］．單元教學設計是教師對教材中具有“某種內在關聯性”的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的單元（主題），以數學單元（主題）知識為主要線索，遵守學習規律、認知規律和數學教學原則，以培養和發展數學核心素養為目標的一種教學設計［5］．數學單元教學具有主題性、系統性、模型性、全息性等特點［2］．數學單元教學是從“雙基”到“數學核心素養”的橋梁［2］．高中數學單元教學設計就是要構建一個反映高中數學內在發展邏輯、符合學生數學認知規律的高中數學核心概念和思想方法結構體系，并使核心概念、思想方法在高中數學課堂中得到有效落實，讓學生真正領會高中數學的本質和作用，落實數學學科核心素養［6］．

2高中函數教學研究現狀

由于函數定義、函數單調性定義和函數思想是高中函數單元教學的重點和難點，因此，本單元的教學應著力研究函數定義、函數單調性定義和函數思想的教學．2．1函數定義的教學黃寧靜等［7］認為，高中函數概念教學可采用引導發現的教學方法，以“問題”來驅動教學，并以“y＝1是函數嗎？”來激發學生的學習動機．研究者多年高中教學經驗也證明了問題“y＝1是函數嗎？”的確能夠引發學生的認知沖突，并能激發學生學習高中函數定義的動機．張忠旺［8］認為，對應法則是函數概念的核心，也是學生理解函數概念的難點，函數概念教學可通過揭示對應法則的不同表現形式并輔以數形結合的思想方法，則可突破這一難點．但也需注意，對應法則對于學生來說是非常抽象的、概括的，學生感到很難理解，很不容易內化為自己的經驗．因此，理想的教學是給“對應法則”找一個“支架”，或構造一個“原型”．丁銀凱［9］認為，高中函數概念教學可采用“先行組織者”的教學策略，其路徑為：（1）概念同化（重視各位屬關系的教學設計）；（2）問題化歸（注意教學任務中的問題設置）；（3）概念再識（糾正問題解決中的偏差理解）．“先行組織者”策略是數學“同化學習”的基本原理，其核心思想是給新知識搭一個“支架”，最好的“支架”是能聯系學生初中階段的函數知識和經驗．章建躍［10］認為，抽象數學概念的情境與問題的創設應關注典型性、豐富性和反例等；從數學學科和學生認知兩個方面，應重視數學情境的積極作用．賈隨軍［11］總結了函數概念演變經歷的4個主要階段：（1）以表格、曲線形態呈現函數（阿波羅尼奧斯，奧雷斯姆）；（2）函數是解析式（歐拉）；（3）函數是對應（傅立葉，狄里克雷）；（4）函數是關系（布爾巴基學派）．在函數的教學中，教師講點數學史，讓學生了解一點函數產生、發展、演化、邏輯嚴密化的歷史，可以增添數學教學的故事性、情境性、趣味性和人文性．趙思林等［12］基于從初中學生熟悉的某個二次函數出發，比較自然地建構了高中函數的定義．比如，以y＝x2－4為認知起點，教師和學生一起思考與探究5個問題，其中最重要的是下面2個問題：（1）給定x的值，怎樣計算x對應的值呢？其算法是什么？（2）這個函數的對應關系（法則）是什么？在此基礎上，得到3個結論［12］．一是讓學生理解在函數y＝x2－4中隱藏著一個對應關系f，這個f就是算法的意思，即“（對x）平方，減4”．二是f有三個作用：①把x和y聯系起來；②隱蔽地把數集R和數集y｛y≥－4｝也聯系起來了，聯系的方式叫做“對應”，即f：R→y｛y≥－4｝，f：xy；③在f的作用（即算法規則）下，使得R中的每一個數都對應著數集y｛y≥－4｝中的唯一確定的數．三是讓學生用“集合”和“對應”等概念給這個二次函數下一個新的定義：設f是從R到y｛y≥－4｝的一個對應關系，若實數集合R中的每一個數對應著數集y｛y≥－4｝中的唯一確定的數，則稱f是一個函數，記為y＝f（x）．接著，再給出函數的一般定義．需要說明的是，問題（1）的主要作用是讓學生加深理解求函數值的算法；問題（2）把抽象的“對應關系”理解為“算法”，雖然不夠準確、不夠全面，但“算法”是“對應關系”比較好的“支架”（經驗）［12］．2．2函數單調性定義的教學函數的單調性是在高中討論函數“變化”的一個最基本、最重要的性質［13］．黎棟材等［13］建議應整體把握函數單調性的教學：（1）從學科地位、課標要求、教學要求、內容的作用、高考等方面分析內容的地位與作用；（2）包括內容的教育特點、學生基礎、內容的教育價值等作教學分析；（3）按照教育規律做好教學安排．具體地說，在講授函數單調性的定義時應重點放在數學語言教學上，即以學生熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數的圖象為載體，讓學生經歷單調性的“圖形語言→文字語言→符號語言”的逐步抽象與建構過程；在講解冪函數（5個）、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的單調性時，讓學生經歷“圖象→性質→應用”的過程；在講解不等式、數列、最大（小）值等內容時，讓學生認知函數單調性的應用價值；在講解導數的定義時，應注意導數定義與函數單調性的綜合應用，讓學生認識到“數學是一個有機的整體”．關于函數單調性定義的教學，江河［14］設計了“粗—細—精—準”四個活動，讓學生從正反兩方面深刻理解函數的單調性的定義．李秀萍等［15］提出了函數單調性定義的“八步”教學程式，即“畫”（畫圖象）—“看”（觀察圖象）—“說”（說圖象上升或下降趨勢）—“描”（描述性定義）—“定”（定義）—“懂”（理解）—“用”（應用）—“悟”（感悟思想）等程式．2．3函數思想的教學函數思想是刻畫事物運動、變化發展的辯證思維工具，用定量方法研究事物之間的數量關系［16］．函數思想是對函數知識（含概念、符號、性質、模型）的凝結和升華．函數思想就是應用函數概念、函數性質、函數模型等方式方法去發現、分析、轉化、解決現實問題的數學方法［16］．史寧中等［17］認為，通過建立模型、分析模型、求解模型、解釋規律等過程，引導學生理解函數是一個好的學習途徑．“滲透函數思想”“重視函數思想方法的應用”已成數學教師的共識．2．4高中函數的單元教學仇炳生［18］從語言轉換與方法同構的角度，提出了高中“函數”單元教學的整體設計：既要突出函數的科學性、系統性，又要從學生已有知識經驗出發，幫助學生理解函數的系列概念，逐步領會函數思想和學習函數的方法．具體包括：（1）函數概念的教學（應注意初高中的銜接和集合語言的應用）；（2）函數性質的教學（應著重于培養觀察能力，訓練用文字語言、圖形語言和符號語言表征數學對象的能力，以及幾種語言相互轉換的能力）；（3）基本初等函數的教學（應重在幫助學生進行自主探索和學習）；（4）函數應用的教學（應具有復習或終端考核的性質）．上面這些研究成果對高中函數的單元教學（設計）無疑是具有指導作用的，但這些研究成果如何變成教學的現實生產力仍需探討與實驗．

3高中函數的單元教學內容設計

3．1高中數學單元教學設計步驟．針對多數新知課，一個具體的單元（主題）教學設計可按照以下步驟進行：第一步，根據課程標準和教材，確定主題（單元）；第二步，根據知識邏輯，設計單元教學內容（含課時安排），課時安排因學生的實際水平而定；第三步，著眼“四基”“四能”和“六核素養”，設計教學目標；第四步，依據教學邏輯、學習邏輯和認知邏輯，并照顧學生已有知識經驗的基礎，設計教法、學法和教學活動；第五步，設計課時教學環節，設置一定數量的探究性問題、開放性問題、應用性問題及課內課外的思考題，引導并指導學生深度學習，以問題作為單元學習的主題，采用問題驅動方式教學，問題的選擇應有一定難度和區分度，問題應體現數學基本思想方法（即全息思想方法）；第六步，學習評價（反饋）與反思的設計．綜上可得，數學單元教學設計的步驟可簡化為：（1）確定主題；（2）設計教學內容（包括小單元）與含課時安排；（3）設計教學目標；（4）設計教法和學法；（5）設計教學環節；（6）設計教學評價．3．2高中“函數”單元教學內容．（學時）與設計意圖說明第一步，單元的主題確定為“函數”．“函數”這一主題作為“大單元”，是幾個“小單元”主題的集合．“函數”“大單元”的知識邏輯所包括的“小單元”主題有：函數的定義與符號；函數的整體性質與局部性質；方根、指數、對數的定義及運算；幾種基本初等函數；函數思想與應用（補充）；函數的實際應用問題；單元復習與檢測．第二步，設計單元教學內容，作課時安排（因學情而定，下面寫的課時僅供參考）：（1）函數的定義與符號（3學時）設計意圖：重點放在理解符號f（x）及其應用上．因為函數的符號f（x）特別是計算函數值在研究函數的所有性質時都會用到，所以函數的符號f（x）及計算函數值是函數中的全息知識和方法．高中數學人教A版新教材約用5頁、5個例題來講“函數的表示法”，此內容教懂學會需要安排2學時，讓人感到比較繁瑣、不夠簡約．對此，研究者建議：把“函數的表示法”放在“函數的定義與符號”這一單元中，簡單介紹即可．（2）函數的整體性質函數的奇偶性（2學時），函數的周期性（1學時），函數的最值（簡單介紹概念及求解方法，1學時），函數的有界性（1學時）；“函數的局部性質”：函數的單調性（3學時），函數的極值（簡單介紹概念，放在高三的“導數的應用”中更為合理）．設計意圖：考慮到“函數的有界性”對學函數極限有用，可以增設此內容．“函數的極值”在高一年級只宜花幾分鐘時間簡單介紹概念，不宜深究，求解函數的極值適合放在高一年級后面將學的“導數的應用”中．（3）方根、指數、對數的定義及運算（7學時）設計意圖：這部分包括3個內容：“n次方根的概念”“指數的定義及運算”和“對數的定義及運算”．“n次方根的概念”源于對“問題：已知xn＝a，求解x”的探究，此問題實質上是一個雙參數討論的問題，需要二級分類，問題的抽象度高、難度大，因此，“n次方根的概念”歷來是教學的難點，教師應講清二級分類的原則（標準）和方法，教學應適當慢些；對數的定義與運算歷來既是教學的重點，又是教學的難點，教學時可適當多花一些時間，建議花3學時；“指數的定義及運算”和“對數的定義及運算”是學習指數函數、對數函數的核心基礎，應打牢基礎．（4）三種基本初等函數指數函數及研究方法（2學時），對數函數及性質（2學時），冪函數（y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝槡x，y＝x3）（2學時）．設計意圖：冪函數在課標中只要求掌握這5個，但全體冪函數的定義域、值域、圖象情況等都比較復雜，所以建議最先講比較簡單的指數函數，然后講對數函數，最后講冪函數．（5）函數思想與應用（2學時）設計意圖：函數的思想是函數知識的精華部分，有廣泛的應用，特別應重視函數單調性的廣泛應用，如解方程（組）的同解原理、解不等式（組）的同解原理其本質都可看成是函數單調性的推論．此內容在課標和教材中均未單獨出現，但鑒于這個內容在高考中出現的頻率較高，并且它是培養學生數學核心素養的重要素材，因此研究者建議增設此內容．（6）函數的實際應用問題（2學時）設計意圖：通過把實際應用問題變為函數模型（問題），可以讓學生學習垂直數學化的方法，也能讓學生體會數學的應用價值．（7）單元復習與檢測（4學時）設計意圖：鑒于本單元的重要性和難度大的特點，安排單元復習和一定的檢測是必要的．第三步，設計教學目標．參考課標，此處從略．第四步，設計教法和學法．設計意圖：通過指數函數的學習，讓學生掌握研究某類函數的基本方法即定義域—值域—圖象—性質—應用，這個基本方法對后續研究對數函數、冪函數、三角函數等都是有意義的．因此，研究某類函數的基本方法是研究函數的普遍方法———“漁”．第五步，設計教學環節．如，新知課的教學環節一般可設計為“情境—問題—探究—知識—應用—練習—交流—總結”，教學環節可根據教學內容、學情、時間等作適當調整．第六步，設計學習評價（反饋）與反思（2學時）．設計意圖：第六步應與第二步（7）相呼應、相聯系．應重視學生的自我評價與反思，因為這有利于開發元認知．完成本單元教學任務約花34學時，比課標和教材需用的學時都更少，并且教學內容比課標和教材增加了“函數的最值（1學時）”“函數的有界性（1學時）”“函數思想與應用（2學時）”“單元復習與檢測（4學時）”等重要內容．由此可看出，單元教學比傳統的非單元教學節約課時．上述安排從理論上看具有一定的合理性．其實踐的可行性，需要一線教師的實驗、總結與不斷完善．

作者:李紅霞 趙思林 單位:內江師范學院數學與信息科學學院