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提要

本文以正交試驗設計的理論為基礎，介紹空調用水冷式表冷器的熱工性能試驗方法，回歸出另一種形式的傳熱系數經驗公式。該公式較原有經驗公式概念清楚、使用方便、精度較高。該實驗方法較常規試驗方法完整性更強，目的性明確，且實驗次數較少。

一、傳熱系數經驗公式的數學模型

目前，水冷式表冷器的傳熱系數K多整理成以下形式的經驗公式：

（1）

式中：vy為迎面風速，ω為水流速，ξ為析濕系數，A、B、m、n為實驗系數和指數。

這個公式物理概念比較明確，但應用起來不太方便，而且對于校核性計算，析濕系數ξ事先也不確立。經過對各種形式的水冷式表冷器的試驗數據進行整理分析，發現傳熱系數K值可以分別回歸成表冷器進口濕球溫度ts1，迎面風速vy，進水溫度tw1，和通過表冷器的水流速ω的指數形式的經驗公式，且線性相關很好。例如，對于YD75型誘導器所用水冷式表冷器的試驗數據進行分析，發現K值的經驗公式可整理如下：

（1）變風量試驗工況：（進風干球溫度tl=25℃，進風濕球溫度ts1=17.9℃，水初溫tw1=10℃，水量W=400kg/h）

vy1.041.411.962.543.103.634.15

K測14.97117.25918.47020.26321.71525.53524.35

相關系數R=0.995

(2)變水量試驗工況：（t1=25℃，ts1=17.9℃，tw1=10℃，風量Ga=779.39kg/h）

ω0.3880.5820.7760.9701.1641.5521.941

K測15.51917.25319.10019.49120.72722.62022.950

K=19.8665ω0.2512相關系數R=0.993

(3)變ts1試驗工況：（t1=25℃，W=400kg/h,Ga=779.39kg/h）

ts11818.4719.6120.1121.0421.76

K測18.6419.7723.3225.1328.5631.21

相關系數R=0.9997

(4)變進水溫度試驗工況：（t1=25℃，ts1=18℃，Ga=779.39kg/h，W=400kg/h）

tw18.1110.012.04

K測20.4918.8417.64

相關系數R=-0.9994

根據這一情況，筆者認為可將水冷式表冷器的傳熱系數K值經驗公式的數學模型確定為：

（2）

式中Ct0，Ct1，Ct2，Ct3，Ct4是回歸出的系數或指數。

由于ts1，vy，tw1，ω都是影響水冷式表冷器的外部參數，如果將被測試的表冷器看成一個黑匣子，則tl，ts1，tw1，vy，和ω是其輸入參數，而K或冷量Q為其輸出參數，如圖1表示。

圖1

輸入參數是影響水冷式表冷器K值的外部參數，而影響K值的其它諸因素，即表冷器的片型、片材、管材、肋管的結構型式、片間距以及加工工藝等則表現在黑匣子的內部。而這些影響因素的存在，正好說明通過實驗確定水冷式表冷器K值經驗公式的必要性。外部參數t1，ts1是表冷器進口的空氣參數，用它們可以確定表冷器進口空氣狀態的焓值i1。由于在空調應用范圍ts1與i1間有一定的關系，所以可用ts1代替進口空氣參數。這樣不僅可減少試驗工作量，且消除了交互作用的影響。因而有可能用K=f（ts1，vy，tw1，ω）代替原來的K=f（vy，ξ，ω）函數關系，作為傳熱系數K的數學模型。與原來的模型比較，該模型有以下幾個優點：

（1）ts1，vy，tw1，ω四個參數都是水冷式表冷器的直觀輸入變量，而析濕系數ξ是不易確定的間接參數，確切地說，它也是黑匣子的輸出結果，而不是輸入參數。

（2）上述四個變量都是獨立的，而ξ是vy，ω，ts1，tw1的相關變量。

（3）從使用角度看公式（2）比公式（1）要方便得多。

二、正交試驗設計

如果對方程式（2）進行對數變換則有：

lnK=lnC0+C1lnts1+C2lnvy+C3lntw1+C4lnω(3)

令y=lnK，x1=lnts1，x2=lnvy，x3=lntw1，x4=lnω，b0=lnC0，bi=ci，（i=1，2，3，4）

則公式（3）可寫成：

（4）

上式為一個四元線性方程，因而水冷式表冷器的試驗設計就變成了多元線性回歸問題。

依據正交試驗回歸理論，多元線性回歸可采用二水平的正交表安排試驗工況點。由于這里有四個因子（輸入參數），因此，若進行全面試驗，可選用L16（215）正交表，若采用1/2實施試驗，可選用L8（27）正交表，也可選用最優飽和型設計L5（24）表。由于四因子的正交表的試驗工況點分布在四維空間上，難以用圖形表示，我們將采用三因子全面試驗設計和飽和型設計實施方案來說明正交試驗設計的合理性。

假定試驗因子為x1，x2，x3，試驗因子的區間上限定"1"水平，下限定為"-1"水平，中間為"0"水平，則按L8（27）正交表，全面試驗工況點安排如表1：

表1

試驗工況因子

x1x2x3

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

按L4（23）正交表飽和型設計試驗工況點安排如表2：

試驗工況因子

x1x2x3

1

2

3

4

1

1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

1

若將試驗工況表示在一個六面體上，如圖2所示。則全面試驗的工況點是六面體的八個頂點，而飽和型實施試驗工況點是不相鄰的四個頂點⊙，從圖2可以看到，正交試驗設計較常規實驗設計的試驗點具有強的代表性。充分反映了實驗區域的完整性，而且每個實驗點的目的性也非常明確，就是飽和型試驗也一樣。

圖2

上面分析只說明了正交試驗設計實驗工況點的合理性，還需進一步用正交試驗設計理論分析回歸方程與試驗結果的擬合程度和回歸方程的適用范圍。方差分析是將由因子水平的變化所引起的試驗結果的差異與實驗過程中誤差造成實驗結果的差異區分開來的數學工具。方差分析是用計算的F比（因子水平的改變引起平均偏差平方和與誤差的平均偏差平方和的比值）和數理統計學中的F分布表進行比較，判斷出信度α顯著性，就是F檢驗問題。

一般F比>F0.01說明該因子水平的改變，對試驗結果有高度的顯著性，記作"**"；F0.01<F比<F0.1說明該因子水平的改變對實驗結果有一定的影響，記作"#"。

上面的F0.01，F0.05，F0.1分別是信度為0.01,0.05和0.1的F值。F檢驗的結果雖然能判斷回歸方程在實驗工況點上與實驗結果的擬合程度，但是既使擬合得很好，也還不能證實在被研究的區域內部矛盾回歸方程與實驗值同樣擬合得好，既不能證實這個回歸方程與實驗植同樣擬合得好，既不能證實這個回歸模型是好的。因此有必要在零水平（0，0，0）處，安排重復實驗，進行t值檢驗（判斷零水平處實驗結果的算術平均值與所得的回歸方程中的常數項是否有顯著差異），如果t檢驗在信度α上通過，說明回歸公式適用于被研究的整個區域，回歸模型正確。否則，說明回歸公式不夠確切，必須建立高次的回歸方程模型。就實驗工況點安排來說，試驗次數應大于正交表中的實驗次數。

三、水冷式表冷器的小樣試驗及數據分析

下面將對一水冷式表冷器小樣，依全面實驗的方法安排試驗工況，并驗證回歸模型的正確性。

1．試件的技術條件及試驗工況范圍安排：

（1）試件技術條件

幾何尺寸595mm×200mm×2排

片數258片

片厚0.2mm

片間距23mm

片的形式平鋁片雙翻邊

片的幾何尺寸200×69.28mm

管材銅管?1.6×0.5mm

傳熱面積6.1555m2

迎風面積0.1214m2

通水斷面積0.0001767m2

(2)試驗工況范圍

（3）正交試驗安排（見表3）

表3

試驗

工況因子

tsqvytw1w1/2實施飽和型備注

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

1

1

1

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

*

*

*

*

*

·

注：①表中1為因子的上水平，-1為因子的下水平，0為零水平。

②Δ為1/2實施試驗工況點。

③*為飽和型試驗工況點。

④·該試驗工況點因實驗臺故障未作，也未參加數據處理。

2．實驗結果的回歸分析

由于實驗難以作到嚴格正交，且該飽和型設計不正交，并為防止因試驗工況點的誤差，引起壞值剔除，試驗數據處理采用多元線性回歸方程處理。然后進行方差分析，最后給出回歸方程在試驗工況點上計算值與實驗結果的百分比偏差。計算程序框圖如下：

下面介紹計算分析結果：

（1）全面實驗回歸分析

水冷式表冷器的回歸公式為：

K=5.9057ts10.5544vy0.3706tw1-0.1112ω0.2743

方差分析結果（見表4）

表4

F（ts1）F（vy）F（tw1）F（ω）

F比121.453.221.7192.6

F0.015.995.995.995.99

顯著性********

全面試驗結果，經F檢驗看到F比均大顯著性α為0.01時F臨界值，故回歸方程有高度顯著性，每個因子都是不可少的。

t檢驗，經計算在α=0.05水平上成立，說明整個試驗區域內回歸方程是正確的。將實測值與用（4）式計算值比較，其相對偏差均小于±5%，見表5。

表5

序號實測值回歸方程計算值相對誤差（％）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

27.121

34.358

27.382

27.694

22.413

28.929

35.826

29.520

31.620

33.11

24.275

26.462

29.250

31.511

24.030

29.463

26.229

33.936

27.521

28.397

22.559

28.589

35.876

29.639

30.960

33.031

23.541

26.930

30.437

31.127

24.629

28.992

3.3

1.2

0.5

2.5

0.7

1.2

0.1

0.4

2.1

0.2

3.0

1.8

4.1

.2

2.5

1.6

（2）1/2實施實驗回歸分析

回歸公式：(5)

方差分析結果見表6。

表6

F（ts1）F（vy）F（tw1）F（ω）

F比

F0.05

F0.01

顯著性

82.1

9.12

28.7

**

44.8

9.12

28.7

**

11.4

9.12

28.7

**

108.6

9.12

28.7

**

1/2實施結果，經F檢驗ts1，vy，ω都為高度顯著性，而tw1為顯著性，每個因子都是必需的。

t檢驗，經計算α=0.1水平上成立，回歸方程正確。將實測值與用（5）式計算值比較除一個試驗點上相對偏差5.9%外，其它均小于±5%，見表7。

表7

序號實測值回歸方程計算值相對誤差（％）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

27.121

27.382

27.694

22.413

28.929

35.826

29.520

31.620

33.110

31.620

24.275

26.462

29.250

31.511

24.030

29.463

26.535

27.657

27.919

22.694

29.273

35.958

29.700

30.820

32.694

30.820

23.548

26.668

30.971

30.986

25.062

29.085

2.2

1.0

0.8

1.2

1.2

3.7

0.6

2.5

.3

2.5

3.0

0.7

5.9

1.7

4.3

1.2

（3）飽和型設計試驗回歸分析

回歸公式：K=5.7510ts10.5350vy0.5046tw1-0.0985ω0.2377(6)

由于五個方程式解五個未知數，沒有剩余自由度，不能進行方差分析和t檢驗，將實測值與（6）式回歸計算值比較，其相對偏差只有兩個大于5%，其余都小于±5%，見表8。

表8

序號實測值回歸方程計算值7.919

相對誤差（％）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

35.826

33.110

29.250

7.382

27.694

24.275

31.511

7.121

29.520

26.462

22.413

24.030

31.620

34.358

28.929

9.463

36.111

32.108

31.362

27.382

27.694

23.591

31.430

27.121

30.164

26.462

22.717

25.661

30.297

34.358

29.655

29.171

0.8

3

7.2

2.8

0.3

2.1

1.4

6.7

4.2

2.5

1.0

從上面數據分析結果看，無論全面實驗、1/2實施設計還是飽和型設計，都證實新建立的數學模型（2）式是正確的，如果將每組試驗工況，都進行嚴格實驗，要用全面實驗和1/2實施設計方案都會有95%以上的精確度。可見用正交試驗設計理論指導水冷式表冷器熱工性能試驗可以用最少的試驗工況點，提供完整的信息，回歸出的經驗公式具有相當高精度。因此本文介紹的試驗設計方法是一種簡便易行的好方法。

四、幾點說明

1．本文論述的水冷式表冷器傳熱系數的數學模型及其實驗設計方法，較目前的常規實驗設計，具有實驗次數少（只是原來常規實驗設計試驗點的1/3），每個試驗工況代表性強，適用范圍廣泛等優點。雖然本文介紹的實驗安排中只作了進口空氣溫度t1=24～30℃，φ=50%的一些實驗，然而計算表明該回歸公式用于t1=24～30℃和其它相對濕度時（只要濕球溫度在17～24℃范圍內），其誤差完全可以忽略不計。

2．關于實驗次數問題，筆者認為當然采用全面試驗設計是最好的。因為其剩余自由度最大，回歸公式的精度也最高。但實驗次數多，工作人員辛苦勞累，將會造成實驗工況點控制不嚴，測試數據誤差大，以等權參加數據處理會造成"取偽"，使經驗公式不能真實反映表冷器的熱工特性；而采用五個實驗工況點的飽和型最優設計方案沒有剩余自由度，則每個試驗工況點都必須非常嚴格控制，否則回歸公式的精確度難以達到95%，造成了"棄真"現象，不能滿足空調工程要求。因此建議，一般以采用1/2實施設計方案為宜，它有3個剩余自由度，可以進行方差分析，判斷實驗回歸公式的準確自由度，可以進行方差分析，判斷實驗回歸公式的準確程度。

另外，零水平試驗是否對水冷式表冷器都要進行呢？從理論上講，經過實驗檢驗后的數學模型正確，則按正交表進行試驗就完全保證回歸公式在整個試驗區域內可靠，而不必再做零水平重復試驗。但是零水平試驗工況，往往都是試驗區間中的標準點，作為評價水冷式表冷器的標準。故筆者認為應進行該項試驗，在回歸時，也把它作為一個試驗工況點，以增加回歸方程的精度。

3．筆者曾對這個數學模型稍加改造，變成型式，對若干風機盤管制冷量進行試驗回歸，給出了風機盤管熱工全性能表，解決了廠家和設計得對一般風機盤管試驗只給出標準工況下高、中、低三檔冷量的使用不便問題，結果也具有95%以上的精度。

4．正交試驗設計回歸理論應用于多元回歸問題是非常有益的，在暖通空調試驗領域中很多設備性能多為指數型函數關系，經過變換變成線性回歸模型，可用正交試驗設計理論指導試驗設計。