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摘要:概率論與數理統計是多數大學生本科階段必修的公共數學課之一。傳統的課堂只注重教師的教學，而忽視了學生的課堂參與度和有效反饋的問題。為了解決此問題并有效提高課堂教學效率，將BOPPPS模式引入《概率論與數理統計》課程的教學過程，激發學生學習興趣，吸引學生自主地參與課堂活動，并運用所學到的知識解決實際問題。以“概率的古典定義”為例，闡述BOPPPS模式的具體實施過程，表明該教學方法可以有效解決傳統教學模式中存在的問題，具有良好的現實意義。

關鍵詞:概率論與數理統計;BOPPPS模式;教學;參與式

2019年10月，教育部頒布《關于深化本科教育教學改革全面提高人才培養質量的意見》中提到“積極發展‘互聯網+教育’、探索智能教育新形態，推進課堂教學革命”。［1］為了落實教育信息化，加快課堂教學改革，目前眾多高等院校紛紛進行教學改革探索。因此，針對我校基礎數學課程之一的《概率論與數理統計》，依據該課程的教學現實情況，借鑒國內外的先進教學理念，將BOPPPS教學模式融入《概率論與數理統計》的教學改革中，從而激起學生學習該課程的興趣和熱情，培育學生的綜合概括能力、創新能力和應用概率與數學統計方法處理實際問題的能力［2］。

一、BOPPPS有效教學模式

BOPPPS教學模式是加拿大諸多高校中率先普遍使用的新型教學模式。與以往教學模式相比，該模式強調教學效果、課堂效率和教學收益［3］，同時在課堂教學過程中強調師生參與式互動和反饋的有效教學模式。BOPPPS教學模式將教學過程分成課前導入、學習目標、前測、參與式學習、后測、總結六個模塊。其六個模塊相互獨立，前后銜接，有的放矢，共同為實現教學目標而服務。整個教學過程中充分體現了“教學相長”，突出強調了以學生為主體，師生互動參與式學習，具備很強的實踐性和適應性。

二、概率論與數理統計教學現狀和改革的必要性

概率論與數理統計課程部分概念比較抽象，理論體系邏輯較嚴謹，學生難以抓住重點，展開進一步思考。其次，這類課程一般是大班授課，學生的基礎參差不齊，學習的需求也不一樣。同時，該課程因為課時較少，所以教學過程以教師在課上講授為主，與學生的課堂互動性差。課下學生的自主學習能力差，課后與師生互動有限，不能很好地記錄學習過程中遇到的問題，對于教學效果的反饋不夠及時。為了適應對應用型人才培育的需求，“概率論與數理統計”課程的教學改革勢在必行。分析BOPPPS有效教學模式，在實際教學中，該模式能夠讓學生參與課堂學習，充分發揮學生的學習主動性，并將學生從被動的知識接受者轉變為真正的學習主體［4］。將BOPPPS模式融入概率論與數理統計課堂教學中，利用超星學習通平臺，有機整合線上線下教學與互動，融合多方面的優勢，可以改革以教師在課堂上講授為主的教學模式，加強師生之間的交流與共享，在課堂教學中取得良好的教學效果。

三、基于BOPPPS模式的教學應用舉例

《概率論與數理統計》是研究隨機現象的統計規律性的數學學科，是高等院校本科專業教學計劃中的一門重要必修公共基礎課。下面將以該課程中概率的古典定義這一知識點為例，按照BOPPPS方式設計教學方案。

(一)導入

以概率論經典問題為例，引發學生思考。意大利數學家卡當，參與過一種賭法:任意投擲兩個骰子，計算兩個骰子的點數之和，那么押哪個數字的勝算大呢?骰子共有6個面，每個面點數分別為1～6點，卡當說押7最好。請你分析卡當的說法是否正確?讓學生自己畫出表格，分析卡當預言的正確性。學生通過對該問題的探究，初步領會事件等可能性的含義，以及在計算概率的過程中，發現概率的求解是由滿足條件的基本事件的個數與總的樣本空間中基本事件總數的比值得到的，使學生聯想:這樣的計算方式是不是就是計算概率的方法。

(二)學習目標(PPT展示)

知識目標:會判別事件的等可能性，能夠描述概率的古典定義。能力目標:在概率求解中學會設事件，會應用排列組合的知識計算古典概率。素質目標:經過概率的計算訓練，培養數學計算能力，通過古典概型與幾何概型的求解，領會從有限到無限的辯證思維。

(三)前測

利用學習通題目，學生思考、計算，提交答案。根據高中概率知識計算:［1］現在有編號為1、2、3的3匹馬要進行賽馬比賽，問最后1號馬贏的可能性有多大?［2］袋子中裝有3個白球和2個黑球，從中任取2個球，所取2個球都是白球的概率為多少?通過前測，間接獲悉學生對高中概率知識的掌握情況。進而，引導學生對這兩個問題對比分析，總結:什么情況下計算概率能夠用數個數的方法。第一，要可以數出來，所以基本事件的個數必須是有限個;第二，每個基本事件發生的可能性相等。滿足這兩個條件，才能用發生的個數來代替發生的可能性。因而，人們總結此類試驗，提出了古典概型的定義。

(四)參與式學習

(1)引出古典概型，概括概率的古典定義。古典概型應具備的條件:①試驗的樣本空間中只含有有限個基本事件，稱為有限性;②在每次試驗中，每個基本事件出現的可能性相同，稱為等可能性。具有這種特點的隨機試驗稱為古典概型。由此得到概率的古典定義:設樣本空間共有N個等可能的基本事件，隨機事件A包含M個基本事件，則定義M與N的比值為隨機事件A的概率，記為P(A)=MN。(2)例舉例題，引導學生討論、求解例題，強化概念。例1:袋子中裝有3個白球和2個黑球，從中任取2個球，所取2個球為1黑1白的概率為多少?例2:一批產品共有N件，其中有M件次品。現從這批產品中順次任取n件，求其中恰有m件次品的概率。抽樣方式分為(1)有放回;(2)無放回。例3:(抽簽與次序無關性)一批產品共有N件，其中M件次品。每次任取一件，取出后不放回，連續取k件產品，求第k次取得次品的概率。(3)引導學生思考與討論，假設試驗的基本事件個數有無窮多個，那么概率的古典定義能否適用?為什么?進而推廣到幾何概型。幾何概型定義:假設試驗的樣本空間Ω包含無窮多個且都是等可能的基本事件，其總量可用某種幾何特征進行度量，設為s;隨機事件A所包含的基本事件數也可用同樣的幾何特征進行度量，設為s，則事件A的概率為P(A)=sS。以會面問題為例，掌握幾何概型的概率計算方法。甲乙兩人約定在某一段時間T內在預定地點會面，先到的人等待另一人，經過時間t(t＜T)后方可離去，求甲乙兩人會面的概率，假定他們在時間T內的任一時刻到達預定地點是等可能的。(4)課外拓展閱讀，鼓勵學生自主探究概率論史上著名的蒲豐投針試驗(1777年)，體會用幾何形式表達概率問題，理解概率的統計意義。

(五)后測

為了了解學生的學習效果，檢驗學習目標的實現情況，在學生通上課堂測試題目，學生計算并提交答案。教師對學生完成情況進行反饋，及時發現問題，解決問題。

(六)總結

總結部分旨在幫助學生，根據在課堂上學習的內容來總結所學知識點。有效的總結不僅可以幫助學生對知識有一個總體的了解，并擴展他們所學知識的應用范圍，而且還可以達到強調思想和延伸方法的效果。本次課教師使用PPT演示方法幫助學生總結概率的古典定義的要點，并使用學習通讓學生自我總結學習收獲。使用這種方法雙管齊下，協助學生對本課程建立清晰的知識框架。

四、結語

美國著名心理學家、教育學家杰羅姆·布魯納曾說過:“學習者不應該是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程的主動參與者。”［5］BOPPPS有效教學模式引入概率論與數理統計課程教學中，不僅可以指導學生積極參與課堂活動，而且它可以有效地解決傳統課堂“教師滿堂灌”的現象。學生通過參與式學習，主動探索新知，思考解決問題，對所學知識有更深入的了解。在前測和后測中，學生將回顧與本次課相關的知識，隨后應用課堂上所學知識來處理實際問題，體會知識之間銜接的緊密性。教師針對測試結果，及時調整教學策略和教學節奏，達到互利共贏的目的。總的來說，BOPPPS教學模式使課堂生動起來，學生活躍起來，教學工作有效起來。

作者：呂亞楠 單位：湖北汽車工業學院理學院