一、教學環節

對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設計如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→組合定理→聯想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求

我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。

教師在教途上并不是一帆風順的，尤其在農村中學，有時由于教學上的需要，往往到了初三，也會出現面對陌生學生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結論，但講不出定理的內容；更多的學生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務重，怎么辦呢？經過一番苦思冥想，針對學生基礎差、底子薄，決定狠抓“定理教學”。通過一段時間的復習，學生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發現了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。

那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：

⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。

⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。

⑶推理過程因果關系模糊不清。

針對以上的原因，我們在教學中采取了一些自救對策。

一、教學環節

對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設計如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→組合定理→聯想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求

我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。

摘要：教師在教學時經常需要面對不同的學生，如何根據不同的情況采取相應的措施顯得非常必要。一些學生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了“定理教學”，采取了先集中講授再平時滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發，通過建立表象、組合定理、聯想定理等教學對策，從而使學生具備“用定理”的意識。

關鍵詞：建立表象、組合定理、聯想定理

教師在教途上并不是一帆風順的，尤其在農村中學，有時由于教學上的需要，往往到了初三，也會出現面對陌生學生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結論，但講不出定理的內容；更多的學生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務重，怎么辦呢？經過一番苦思冥想，針對學生基礎差、底子薄，決定狠抓“定理教學”。通過一段時間的復習，學生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發現了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。

那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：

⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。

⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。

教師在教途上并不是一帆風順的，尤其在農村中學，有時由于教學上的需要，往往到了初三，也會出現面對陌生學生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結論，但講不出定理的內容；更多的學生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務重，怎么辦呢？經過一番苦思冥想，針對學生基礎差、底子薄，決定狠抓“定理教學”。通過一段時間的復習，學生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發現了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。

那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：

⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。

⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。

⑶推理過程因果關系模糊不清。

針對以上的原因，我們在教學中采取了一些自救對策。

現行高中第五章"平面向量"是高中數學新增內容之一。該內容的引入既豐富了高中數學的內容，又體現了向量作為數學工具的重要性。通過利用向量去解決一些實際問題，深化了數學知識間的關聯性和系統性，為更好地學好高中數學奠定了良好的基礎。向量的基礎知識較多，且與其他很多部分知識都有聯系，如向量與函數的聯系、向量與三角函數的聯系、向量與立體幾何的聯系、向量與解析幾何的聯系等。因此，有必要加強對向量這一章節的進一步研究和總結。

一、從運算的角度來講，向量可分為三種運算

（一）、幾何運算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運算問題，從中去體會數形結合的數學思想。

（二）、代數運算

1、加法、減法的運算法則；2、實數與向量乘法法則；3、向量數量積運算法則。

【摘要】本文通過對高中第五章"平面向量"的研究，從運算的角度，教學內容、要求、重難點，本章的特點三個方面進行了總結，得出了五個方面的教學體會。

【關鍵詞】平面向量；數形結合；向量法；教學體會

現行高中第五章"平面向量"是高中數學新增內容之一。該內容的引入既豐富了高中數學的內容，又體現了向量作為數學工具的重要性。通過利用向量去解決一些實際問題，深化了數學知識間的關聯性和系統性，為更好地學好高中數學奠定了良好的基礎。向量的基礎知識較多，且與其他很多部分知識都有聯系，如向量與函數的聯系、向量與三角函數的聯系、向量與立體幾何的聯系、向量與解析幾何的聯系等。因此，有必要加強對向量這一章節的進一步研究和總結。

一、從運算的角度來講，向量可分為三種運算

（一）、幾何運算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運算問題，從中去體會數形結合的數學思想。

【摘要】本文通過對高中第五章"平面向量"的研究，從運算的角度，教學內容、要求、重難點，本章的特點三個方面進行了總結，得出了五個方面的教學體會。

【關鍵詞】平面向量；數形結合；向量法；教學體會

現行高中第五章"平面向量"是高中數學新增內容之一。該內容的引入既豐富了高中數學的內容，又體現了向量作為數學工具的重要性。通過利用向量去解決一些實際問題，深化了數學知識間的關聯性和系統性，為更好地學好高中數學奠定了良好的基礎。向量的基礎知識較多，且與其他很多部分知識都有聯系，如向量與函數的聯系、向量與三角函數的聯系、向量與立體幾何的聯系、向量與解析幾何的聯系等。因此，有必要加強對向量這一章節的進一步研究和總結。

一、從運算的角度來講，向量可分為三種運算

（一）、幾何運算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運算問題，從中去體會數形結合的數學思想。

摘要：本文通過對高中第五章"平面向量"的研究，從運算的角度，教學內容、要求、重難點，本章的特點三個方面進行了總結，得出了五個方面的教學感悟。

關鍵詞：平面向量；數形結合；向量法；教學感悟

現行高中第五章"平面向量"是高中數學新增內容之一。該內容的引入既豐富了高中數學的內容，又體現了向量作為數學工具的重要性。通過利用向量去解決一些實際問題，深化了數學知識間的關聯性和系統性，為更好地學好高中數學奠定了良好的基礎。向量的基礎知識較多，且與其他很多部分知識都有聯系，如向量與函數的聯系、向量與三角函數的聯系、向量與立體幾何的聯系、向量與解析幾何的聯系等。因此，有必要加強對向量這一章節的進一步研究和總結。

一、從運算的角度來講，向量可分為三種運算

（一）、幾何運算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運算問題，從中去感悟數形結合的數學思想。

《求最大值和最小值的方法》一書中，已對微分理論進行了比較系統的探討。他把直線平面坐標應用于幾何學也早于笛卡兒，在其所著〈平面及空間位置理論的導言〉中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截線，對一次與二次方程的一般形式，也進行了研究。費馬還研究了對方程ax2+1=Y2整數解的問題。得出了求導數所有約數的系統方法。

著名的費馬大定理是費馬提出的至今尚未解決的問題。1637年費馬提出：“不可能把一個整數的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數大于2的方冪表示成兩個同方冪的和。”1665年這一定理提出后，引起了許多著名數學家的關注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結果。

費馬在光學方面，確立了幾何光學的重要原理，命名為費馬原理。這一原理是幾何光學的最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質中比在疏媒質中傳播要快”的觀點給予了有力的反駁，把幾何光學的發展推向了新的階段。

幾何光學已有悠久的發展歷史。公元前400年，我國《墨經》中便有光的直線傳播和各種面鏡對光的反射的記載。公元100年亞歷山大里亞的希羅（Hero）曾提出過光在兩點之間走最短路程的看法。托勒密在公元130年對光的折射進行過研究。公元1611年開普勒對光學的研究達到了較高的定量程度。最后，1621年斯涅爾總結出了光的折射定律。費馬則是用數學方法證明了折射定律的主要學者之一。

費馬原理是根據經濟原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播。可以理解為，光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。

費馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。由于費馬原理的確立，幾何光學發展到了較為完善的程度。