導語：如何才能寫好一篇逆向思維的訓練，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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一、定義教學中逆向思維的訓練

教科書中，作為定義的數學命題，其逆命題往往是成立的。因此，學習一個新概念，如果能從逆向切入，學生不僅能對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且還能培養學生雙向考慮問題的良好習慣。如在向量教學中，關于向量垂直定義為：

非零向量a、b，若ab，則a?b=0。

反過來，對非零向量如果a?b=0，是否有ab？

又如，逆用方程根的定義解下列兩題，比用一般方法要簡捷。

例1：①解方程（7-4√3）x2-7x+4√3=0。

因為7-4√3-7+4√3=0，所以1是此方程的一個根，設另一根為x2，則1?x2= ，故x2= 48+28√3。

②已知a、b為不相等的實數，且a2=7-3a，b2=7-3b，求

的值。顯然，a、b是方程x2=7-3x的兩根，由根與系數的關系即可解之。

二、公式教學中逆向思維的訓練

數學中的公式都是雙向的，然而很多學生只會從左到右使用，對于逆用往往不習慣。在公式教學中，應注意強調公式的正用和逆用、聚合與展開。

例2：求sin（-3x）cos（-3x）-cos（+3x）sin（+3x）的值。

分析：該題基本符合sin（α+β）展開式結構，只是角度不符，但 -3x與 +3x、 -3x與 +3x恰是余角關系。

解：原式=sin（-3x）cos（-3x）-sin（-3x）cos（-3x)

=sin（ - ）=。

例3：已知

，求sin2α的值。

分析：本題很自然地去逆向思考2α的來源，結合已知的兩種復合角α-β與α+β，不難看出已知角與解題目標角間的關系：

2α=（α+β）+（α-β）

解：

sin（α-β）= √1-cos2（α- β）= ，cos（α+β）=- 。

sin2α=sin〔（α+β）+（α-β）〕=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-。

在公式的應用教學中，有意識地進行雙向訓練，可起到事半功倍之效。

三、運算法則在教學中逆向思維的訓練

在運算法則教學中進行逆向思維訓練，有利用學生對法則的掌握，在教學中要反復訓練，如集合教學中：

如果A是B的子集，那么A∩B=A，A∪B=B，可列舉一些逆向應用的例子。

例4：若集合A={1，2，3，4}，A∩B={1，2}，B=？答案唯一嗎？A={1，2，3，4}，A∪B={1，2，3，4，5}， B=？答案唯一嗎？

如此多角度、多向思考問題，對思維水平的提高很有益處。

四、解題教學中逆向思維的訓練

解題能力是學生數學綜合能力的體現，解題的首要環節是審題，只有審清了題設與題設、題設與結論間的內在聯系，才能找到解題切入點，從而使解題順暢。逆向思維在解題中具有舉足輕重的作用，應予以重視。

例5：已知拋物線y=mx2-1上存在著以直線 x+y=0為對稱軸的兩個點，求m的取值范圍。

分析：為了求得m的取值范圍，逆向思考條件中“兩個對稱點”與直線、與拋物線的內在關系，即①關于直線x+y=0對稱；②均在拋物線y=mx2-1上；③兩點的存在性。

解：P，Q兩點關于直線x+y=0對稱，可設P（x0，y0）， Q（-y0，-x0），又P，Q

y0=mx02-1……（1）

-x0=my02-1……（2）

兩式相減得：（x0+y0）[m（x0-y0）-1]=0。

又x0+y0≠0，m（x0-y0）-1=0，即 y0=x0- ，代入（1）得：

mx02-x0+ -1=0，又P，Q是拋物線上的兩個不同點，故該二次方程有異根，則>0，解得m> 。

評析：分析思路運用了“執果索因”即逆向思維方法，這種方法在數學解題中應用非常普遍，如平面幾何和立體幾何的證明題等等，教學中應予以重視。

五、定理教學中逆向思維的訓練

不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命題是成立的，甚至有些是教科書中明確的，如三垂線定理及逆定理，而有些定理的逆定理雖然教材中沒有明述，但作為逆定理在應用，如二次方程的根與判別式的關系定理及韋達定理等，這些都是很好的教學例子，應在教學中有意識地加以利用。

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關鍵詞：逆向思維；受阻表現；訓練；實施；策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）15-202-01

數學是思維的體操，思維是智力的核心。逆向思維是數學的一個重要法則，其特點表現在：善于從不同的立場、不同的角度、不同的側面去進行探索，當某一思路出現阻礙時，能夠迅速地轉移到另一種思路上去，從而使問題得到順利解決。

一、阻礙學生逆向思維的因素

從教學形式看，最主要是教師在數學課的教學中，往往采用“建立定理--證明定理--運用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的教學模式，忽視了逆向思維的培養與訓練，以致學生不能迅速而準確地由正向思維轉向逆向思維。

二、逆向思維受阻的具體表現

1、缺乏顯而易見的逆向聯想

由于學生在學習過程中，進行了較多的是由此及彼的單向訓練，而忽視了逆向聯想，這就造成了知識結構上的缺陷和思維過程中頑固的單向定勢習慣。

2、混淆重要定理的正逆關系

對于運用正逆關系的數學命題，學生經常混淆題設與結論的順序。如：勾股定理的逆定理的運用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形嗎？請說明理由。”學生認為運用的是勾股定理，理由是“AC2 + BC2 = AB2，52 +122 =132 ，ABC是直角三角形。”其實有“AC2 + BC2 = AB2”，已經是直角三角形了，還要“52 +122 =132”干什么呢？

3、忽視正逆轉化的限制條件

如：已知……（條件），則……（結論） ；但反過來由結論推出“條件”就不全面了，遺漏了另一種情況。特別是對一些限制條件的反求，學生更是束手無策，如：當cbc，則a

4、缺乏逆向變形的解決能力

如：計算 ，有些學生竟然對它進行通分，卻不會用變形。

5、缺乏逆向分析的解題思路

學生在分析問題時只習慣于從條件到結論，卻不會從結論出發去尋求解題思路，缺乏雙向思維解決問題的能力。

三、逆向思維訓練在教學中的實施

心理學家研究的結果表明，中小學的學生思維發展中所表現的思維方向和水平是不同的，最初只能是單向的，沒有逆向思維，以后才逐漸形成思維的可逆性和反復性。對于學習能力不同的學生，從正向思維序列轉到逆向思維序列程度也不同：一般地，能力較強的學生幾乎在建立正向思維的同時，就建立了逆向思維，只需稍加點撥；能力中等的學生，要建立逆向思維必須進行適當的訓練；能力較差的學生，要形成這種逆向的心理過程是非常困難的，對于這些學生還是把重點放在正向思維的建立上，在鞏固了正向思維的基礎上，通過教師長期多方面的引導和特別訓練，才能逐步地接受逆向思維。本文從以下幾個方面探討如何在教學中實施逆向思維。

1、定義教學中逆向思維的訓練

作為定義的數學命題，其逆命題總是存在，并且是成立的。因此，學習一個新概念，如果注意從逆向提問，學生不僅對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養學生養成雙向考慮問題的良好習慣。

2、公式教學中逆向思維的訓練

數學中的公式總是雙向的，可很多學生只會從左到右順用公式，對于逆用，尤其是利用變形的公式更不習慣。事實上，若能夠靈活地逆用公式，再解題時就能得心應手，左右逢源。

在此應特別注意兩點：第一、強調公式的順用和逆用，“聚合”和“展開”。第二、逆用公式是求代數式的值、化簡、計算的常用手段。

3、運算法則教學中逆向思維的訓練

數學中的很多運算都有一個與它相反的運算作為逆運算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開方都是互為逆運算，彼此依存，共同反映某種變化中的數量關系。而且在同一級運算中，可以互相轉化，如利用相反數的概念減法可以轉化為加法，利用倒數的概念可以轉化為乘法。

4、定理教學中逆向思維的訓練

不是所有的定理的逆命題都是正確的，引導學生探究定理的逆命題的正確性，不僅能使學生學到的知識更加完備，而且能激發學生去探索新的知識。勾股定理、一元二次方程根的判別式定理、韋達定理的逆定理都是存在的，應用也十分廣泛。

四、逆向思維訓練的實施策略

在學數學的過程中，經常會遇到這樣一些問題，當從正面考慮時會出現很多障礙，或者根本解決不了，而從反面著手，往往可以使問題迎刃而解，再或者證明問題的不可能性，等等都需要有非常規思路去解決。比如“正”難則“反”。

反證法是一種逆向思維的方法，被譽為“數學家最精良的武器之一”，是解數學題常用的方法。當題目出現有“至少”或“至多”字樣，或以否定形式給出時，一般采用反證法。

五、逆向思維的訓練應注意的問題

實踐證明，在教學中，關注學生的逆向思維的訓練，不僅能培養思維的靈活性、敏捷性、深刻性和雙向性，而且還能克服由單向思維定勢造成解題方法的刻板和僵化，以及不善于在新條件下獨立發現新方法、新結論等不足之處。

在數學教學中培養學生逆向思維值得說明的是：首先，必須有扎實而豐富的基礎知識和基本思想方法為前提，只有具備大量的知識信息，才能從事物的不同方向、不同聯系上去考慮問題；其次，在教學中要充分注意類比、引申、拓廣、舉反例等多種思維方法的培養，使之形成習慣；再者，提倡變式教學，“模式化+變式”是逆向思維訓練的高效率的形式之一；最后，培養學生的逆向思維的能力，必須量力而行，應注意學生的可接受性，因為許多逆向問題對中、下學生來說，考慮起來還是比較困難的，該回避的還是不涉及為好，讓這些學生集中精力掌握好基本內容；對學有余力的學生，加強逆向思維的訓練，對培養他們的學習興趣，拓廣思路，提高能力都起著十分重要的作用。

參考文獻：

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關鍵詞：小學數學;逆向思維;培養策略;數學素養

小學生邏輯思維能力較弱，培養學生的逆向思維需要循序漸進的過程，部分學生思維運動性較強，即為創造性思維能力較強，學生存在思維能力差異。良好的思維訓練具有很多作用。一是培養學生創造性思維，克服順向思維解決問題的困難;二是避免學生思維定式，提升學生思維靈活性;三是探尋學生思維弱點，強化學生思維的廣泛性和深刻性。由此，小學數學教學中，需要加強對學生逆向思維的訓練與培養。

一、深化對互逆概念的理解

小學數學知識中概念較多，有很多概念涉及互逆、互為關系，如正比例和反比例中的數與數之間的關系，平行與垂直的互為關系，倍數與約數的相互關系，加減、乘除的互逆關系等。掌握這些概念中的互逆內涵，不僅能掌握知識本身，還能奠定培養學生逆向思維的基礎，對于學生思維發展非常重要。

二、引導學生善于逆向觀察

觀察與思考是思維的基礎，學生基于觀察展開思考過程。引導學生逆向觀察，能推動學生逆向思維。逆向與順向觀察都是強化學生思維能力的過程，逆向觀察指的是改變以往從左到右、從上到下的觀察順序，轉變方向、角度和思維模式，展開反方向、反角度的觀察過程。比如：沒有示數的鬧鐘上指針顯示反向的45°，引導學生逆向觀察，離12點還差3個鐘頭，那么應該是早上9點或晚上9點了。又如設計一張收支明細表，最后本月存下來7000元，問這個月掙了多少錢。這就需要學生逆向觀察與運算了。

三、加強學生逆向思維訓練

克魯捷茨基表示，逆向思路中，思想會向著相反的方向運動。這里談到的相反方向的運動，指的就是逆向思維能力。學生將眼前看到的事物、過程、事實，和與之相反的事物、過程、事實聯想起來，產生出新的感悟，可以進入不一樣的數學意境。加強學生的逆向思維訓練，有助于培養學生的逆向思維。如兩杯果汁共400ml，A杯多B杯少，A向B中倒入了40ml，兩杯一樣多了，問最初A、B各多少升。這就需要學生反過來思考，一樣多后，A、B有多少升？平均后，A、B都有200ml，而B被加了40ml，所以之前為160ml，A給了B40ml，即少了40ml之后為200ml，若沒少，那么就是240ml了，得出沒倒前A、B分別有240ml、160ml。加強對學生的逆向思維訓練，是培養學生逆向思維能力的策略。

四、鼓勵學生解題逆用公式

小學數學中的公式，凡是用等號連接的都具有雙向性，存在互逆關系。公式為解題規律的抽象概括，可以說，公式是建立模型后的經驗總結，數學公式的雙向性為學生提供了多樣化的思維方式，正向運用可以得出問題的結果，反向運用也可解決更多的數學問題。小學數學教學可以鼓勵學生解題逆向運用公式，深化學生對公式的理解與掌握，訓練學生的創新思維、多元化解題思路。例如：圓柱體體積=底面積×高=π×半徑的平方×高，而2π半徑×高=側面積，也就是說體積=側面積÷2×半徑。這3個要素中知道其中2個，就可以運用逆向推導方法，得出未知項。即為側面積=體積×2÷半徑。乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，能從左邊得出右邊，反之亦可。

五、激勵學生展開逆推練習

逆推法也可以說是還原法，是一種重要的數學思想方法，也就是從題目中所給事情的結果分析出發，一步步還原最初事情的開始。還原法需要運用到題目的每個細節，按圖索驥、分析推理、追根究底，一直到問題得到解決。運用逆推法實施逆向思維訓練，能夠激活學生思維，提升學生創新思維能力。

以五年級書本中的趣題作為例子，“李白街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒，借問此壺中，原有多少酒”。學生在趣味題目的激勵下，展開逆推練習。三次遇到店和花，壺中酒為0。最后一次遇到花前壺中酒就為1斗，即為第3次遇到店前壺中為1/2斗，逆推得出第2次遇到花前為1/2+1=3/2斗，第二次遇店前3/2÷2=3/4斗，那么相同的第一次遇花即為3/4+1=7/4，最初壺中為7/8斗。

逆向思維屬于發散思維中較為重要的部分，為培養學生的創新能力、思維發散能力，需要加強對學生逆向思維能力的訓練與培養。引導學生善于從反方向思考、解決問題，打破思維定式，養成從多角度、多方向解決問題的習慣。教師有計劃、有目的地實施逆向思維訓練，需要基于學生認知基礎、身心發展規律，關注學生思維興趣，挖掘學生思維潛力，科學調動學生思維主觀能動性，從而有效強化學生逆向思維能力。

參考文獻：

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關鍵詞： 數學教學 逆向思維 能力培養

逆向思維是指從問題的相反方向著手的一種思維。筆者從教十幾年，深感許多學生數學水平一直提不上來，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，拘泥于順向、單向學習，死板套用公式、定理，缺乏創造能力、分析能力和開拓精神。因此，在訓練正向思維的同時，加強逆向思維的培養，猶如周伯通之“左右互搏”，可有效改變其思維結構，培養思維的靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力。筆者在培養學生逆向思維方面積極進行了探索和嘗試，獲得了一定的成效，現歸納如下。

一、指導學生樹立正確的數學學習觀

很多學生，特別是那些處于中低層次水平的學生常問筆者：“老師，學習數學為什么？”顯然，這個問題不解決，逆向思維能力的培養無從談起。為此，筆者專門答復學生：“高考文理均考語、數、外三門功課，是因為上述三門功課能概括地表現一個學生的能力，語文是鍛煉感性思維能力，外語是掌握工具，而數學是通過訓練數學邏輯思維，進而培養嚴謹的理性思維能力。”

這個答復讓學生耳目一新，筆者便趁機展開，著重談思維能力的培養特別是逆向思維的培養，通過介紹逆向思維在日常生活、發明創造等方面的典型運用，激發學生濃厚的學習興趣，為開展逆向思維的訓練奠定基礎。

二、幫助學生克服對正向思維的依賴

很多學生患有“正向思維”依賴癥，拿到題目，條件反射先設“x”，列出方程后，埋頭解方程，久之，解方程能力大大提高，但逆向思維能力嚴重不足，此類學生往往還自鳴得意，以為解方程乃“一招鮮、吃遍天”。

對此問題，筆者在挑選習題時，故意挑選些解方程難度大的，“逼”學生通過逆向思維解決問題，比如下面這道題：

第一天，往池塘中投入1單位面積綠藻，已知綠藻每過一天分裂一次（即池塘中綠藻第一天為1，第二天為2，第三天為4……），則第17天，該池塘正好布滿綠藻，問何時綠藻布滿池塘面積的1/4？

題目出后，很多同學不假思索地就設綠藻單位面積為“x”，池塘面積為“S”，意圖通過解方程式x+2x+4x+…+216x=S，求出“x”與“S”關系后，再設所求天數為“y”，通過解方程式x+2x+4x+…+2x=（1/4）S，得到所求天數“y”。

顯然，上述方程式十分繁瑣，班級里幾位解方程“高手”都束手無策，筆者見已達目的，從容解答：第17天布滿池塘，那么第16天布滿池塘的一半，第15天則布滿1/4，符合題意。學生心悅誠服。

筆者通過類似“綠藻問題”，有效減少了學生對“正向思維”的依賴，加深了學生對“逆向思維”的理解。

三、采取各種方法開展逆向思維基礎訓練

培養逆向思維能力，夯實基礎非常重要。逆向思維能力的提高，必須建立在對概念、定義、公式、定理深入理解的基礎上，筆者在實踐中主要側重以下方面。

1.加強對概念、定義教學中反方向的思考與訓練

數學概念、定義總是雙向的，在平時的教學中，往往習慣了從左到右的運用，于是形成了思維定勢，如果逆用則感覺很不習慣。因此在概念、定義的教學中，除了常規應用外，還引導學生反過來思考，使其能融會貫通，從而加深理解。

2.加強公式逆用的教學

數學公式可以從左到右，也可以從右到左，閃爍著“逆向思維”的光輝。因此，筆者注重數學公式的逆運用，當講授完一個公式及其常規應用后，“趁湯下面”，即舉一些公式逆應用的例子，以此為抓手，開展逆向思維教育，學生容易理解，也容易運用。

3.加強逆定理的教學

每個定理都有它的逆命題，有的逆命題成立，即為逆定理。如：平行線的性質與判定，線段的垂直平分線的性質與判定等，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學應用對開拓學生思路、活躍學生思維大有益處。

4.結合證明題開展逆向思維訓練

每一道證明題都是很好的逆向思維訓練題，給出條件和結論，求過程。筆者習慣讓學生從結論入手層層推導，直指已知條件。反證法是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問題直接證明有困難，可反過來思考，假設所證的結論不成立，經層層推理，設法證明這種假設是錯誤的，從而達到證明的目的。

四、摸索“逆向思維”教學新方法

通過上述訓練，許多學生形成了逆向思維習慣，但筆者在實踐中發現，還是有部分學生不能隨機應變，靈活選用適合題目的解題方法。還是上述“綠藻問題”，筆者稍作改動，很多學生就解答錯誤。

例如：上述“綠藻問題”中，題目改為：若第一天投入2單位面積綠藻，則何時布滿水塘？

很多同學想當然，拿到題目，照例不假思索，投入面積為原來的兩倍，時間自然為原來的1/2，回答8.5天。

其實，解法還是利用了“逆向思維”：

解法：已知第一天投1單位面積的話，第二天則分裂為2單位面積，……第17天布滿池塘，按題意，可將第二天分裂的2單位面積看成第一天投的2單位面積，所以答案為17-1=16，答：第16天。

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關鍵詞：思維訓練；創造性設計；數學魅力

有人曾這樣說：音樂能激發或撫慰情懷，繪畫能賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學能使人獲得智慧，科學可以改善物質生活，而數學能給予以上一切。可見，數學的學習蘊含著豐富的內容。而對于小學生來說，豐富的數學學習中，訓練有邏輯的思維能力，特別是逆向思維能力的訓練是有一定的難度。解決此類問題，往往要求學生牢固掌握邏輯性強的數學知識，清楚數量間的關系。但是，小學生年齡小，知識儲備和認知水平有限。解決逆向思維的問題，容易受到定性思維影響而存在困難，解答出錯率很高，出現了教師教的辛苦，學生學得費勁的結果。如何通過數學教學加強學生逆向思維的訓練，展現數學學習的魅力？一次教學活動引發了我的思考。

教學片段：

在教學小學三年級長方形周長計算后，我設計了這樣的情境問題：王奶奶要給一塊長10米，寬5米的長方形菜地圍上柵欄，需要買多長的柵欄？這個問題學生迎刃而解。接著出現第二個情境：張叔叔買了50米長的柵欄，正好給寬10米的長方形菜地圍上，這塊菜地長多少米？，我發現學生嘗試解答這個問題時很多學生覺得很難，不會做。于是，設計了 “畫數學”的教學活動。

師：該怎樣計算長方形菜地的長呢？

生1：“用50米減去10米！”話音剛落就聽到有異議。

生2：“應該用50減去10乘2！”

師：“到底誰對呢？大家討論一下吧！”

經過同桌討論，很多學生認為應該從用50先減去2個10，可還有一些學生很茫然。課堂上開始了一次小小辯論會。

師：“為什么從50中減去2個10 ？”

生3解釋說：“因為長方形有2條寬，用50中減去10乘2就是減去2條寬，得到的30米就是長。” 有的同學點頭同意。

生4：“30米不是長”

師：“30米不是長，是什么？”

生4急忙說：“30米是兩條長，除以2才是一條長。”

聽了幾個同學的發言，一些孩子們明白了，但我發現仍有一部分學生的眼神迷茫，完全沒有搞清楚剛剛思考的過程。

師：同學們，前面在學習長方形周長計算時，大家用“畫”周長的方法理解公式，老師發現你們非常喜歡這種方法。我建議大家試著再用“畫”的方法來思考這個問題。

學生流露出好奇的表情，有的同學已經掩蓋不住想要當小老師的喜悅，高高舉起小手要進行板演了。

我請了一位同學上臺，他在黑板上畫了一個長方形，把數據寫在圖上。然后說：“從周長50米里減去10乘2，就是減去兩條寬，30米就是剩下的兩條長，。”我引導她擦除掉，讓大家一目了然看到剩下的就曬兩條長。只見她用板擦輕輕擦去長方形的兩條寬。接著說：“30除以2就是一條長。”只見她又擦掉一條長。

師：“長方形怎么只剩下一條長了，你看明白了嗎？想想也像這樣一邊畫一邊算呢？

音剛落，很多同學已經打開本子開心的畫畫了。同桌交流的時候，每個人都那么自信的比劃著、講解著，所有的孩子都明白了計算的道理。

這時，一個小男孩舉手了，他說自己能“畫”出另一種方法。我請他上黑板講解。他先畫好一個長方形，竟然用紅粉筆把一條長和一條寬描成紅色，把剩下的一組描成了黃色。接著，輕輕地擦掉紅色一組，說：“我先用50除以2等于25，算的是一條長與一條寬的和是15米，再用15米減去寬10米，就是一條長了。”我看到很多同學都點頭稱贊，理解了便開始動手邊畫邊算了。

兩次“畫”數學之后，每個孩子 “畫”出了逆向思維問題的解答過程，能夠總結出兩道題相同與不同之處，這道逆向思維的問題變得簡單而有趣。之后，我布置的作業是根據今天學習的內容，自己編一道同類的題目，用“畫”的方法表示思考的過程并計算。作業交上來后，我欣喜的看到了每一份作業解答中的思維過程，全班38個學生掌握的很好！

教學反思：

回想教學過程，學生對逆向思維的問題從開始覺得困難到最后愛學、會學、善于表達，創造性的理解讓我不覺贊嘆，真是別樣的教學，有趣的數學！

一、依據兒童的身心特點，變式設計逆向思維的題目。

教學中，教師要準確把握教學內容，根據學生的身心特點，對課本練習創造性的再設計，適時改變題目進行逆向思維的訓練。如改變長、寬、周長的已知條件，讓學生清楚逆向思維的題目的數量關系，幫助孩子對周長的知識有更深入的理解，引導學生善于動腦，學會思考，在數學學習的過程中不斷積累逆向思維的學習經驗，引導學生善于動腦，學會思考，促進學生對知識的理解與掌握

二、妙用數形結合的思想，加強逆向邏輯思維的訓練。

本節課我改變了傳統教學的講授法，運用數形結合的思想，采用“畫圖”呈現出周長與長、寬的關系，讓逆向思維的過程動態化外顯，讓學生一目了然。這樣借助“形”表示數量間的關系，易于學生逆向思維的連貫性，幫助學生克服了理解中的難點問題，激發學習興趣，課堂上留下了解決數學問題別樣的思考和有趣的方法。

三、善用師生合作交流，加強語言外化思維的訓練。

動手實踐、自主探索、合作交流是學生學習數學的重要方式。學生在數學學習的過程中有時出現困惑、有時出現思維的間斷，這時，師生、生生間的對話溝通是答疑解惑的好方法。語言的交流就是思維的碰撞，思維穿上了語言的外衣，在加上數形結合的外在呈現，逆向思維的過程就生動的展現在學生的面前，問題的解答也就變的簡單了。

數學學習的重要任務就是思維的訓練，其中，逆向思維的訓練日漸被老師們所重視。愛動、愛說的小學生的逆向思維訓練，需要教師依據其身心特點，采用靈活多變的教學方法，設計有趣的變式題目，借助數形結合的思想，引導學生在動手、動腦、動口的過程中理解逆向思維的過程，讓逆向思維的邏輯過程猶如涓涓細流從孩子的手中畫出，從口中緩緩流淌，讓枯燥的數學知識變成連貫，煥發童話般有趣的色彩，只有這樣，不但能使孩子們數學逆向思維得到訓練，而且能感受到的數學學習的樂趣，讓別樣的教學展現數學的魅力，真是一舉多得。

參考文獻：

[1]《小學數學課程標準》，北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]李伯玲，小學數學教學中學生逆向思維訓練 [J]；現代閱讀（教育版）；2011年11期.

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一、逆向思維的有利作用

逆向思維是相對于順向思維而言的另一種思維形式,是發散思維的一種。它的基本特征是:從已有的思路反向去考慮和思索問題。這種思維形式反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯結性,是對思維慣性的克服。一般的學生從正向思維轉向逆向思維是存在著一定的困難的,而有能力的學生在完成這種轉變時是迅速且自如的,這就是能力不同的學生在思維的運動性方面的素質差異。這種思維的運動性,是創造性思維的一個重要組成部分,加強學生的逆向思維訓練,是培養學生創造性思維能力的一個重要方面。從小學數學中看,逆向思維的作用主要表現為幾個有利于:(1)有利于排除順向思維中的困難,培養思維的創造性;(2)有利于克服順向思維中的定式,培養思維的靈活性;(3)有利于挖掘順向思維中的弱點,培養思維的深刻性。

二、逆向思維的訓練方法

1.互逆概念。小學數學中有許多“互為”與“互逆”關系的概念,如“互為倒數”、“互為倍數與約數”、“加法與減法”、“乘法與除法”等。在教學中讓學生從正反兩面去思考與理解這些知識,不僅對于學生掌握知識本身,還是對培養學生逆向思維的能力,都具有十分重要的意義。

例如,①3的倒數是( );②1的倒數( );③16是( )倍數;④( )的倒數是8;⑤()的倍數是8。

2.逆向觀察。觀察是思維的觸角,是培養學生思維的基礎。數學中逆向觀察與順向觀察都是培養學生思維能力的體操,逆向觀察是改變過去的由上及下、由左到右的順序而進行的。有目的、有意識地讓學生進行逆向觀察,不但可以使學生全面地掌握知識和熟練地運用知識,而且能培養學生逆向思維的習慣。

例如,在教學分數的基本性質時出示練習題:把四個相同的圓片分別平均分成2份、4份、8份、16份,并涂上了顏色。如果把每張圓片都看成單位“1”,請你把涂色的部分用分數表示,這四個分數所表示的面積都相等,即1/2=2/4=4/8=8/16。組織學生從左向右觀察,12的分子與分母都同時乘以2,則等于2/4;若都同時乘以4得4/8;若同時乘以8得8/16;可見分數的分子與分母都同時乘以同一個不為零的數,分數的大小不變。再組織學生從右向左觀察,8/16的分子與分母都同時除以2,則等于4/8;若都同時除以4得2/4;若再同時除以8 得1/2;可見分數的分子與分母都同時除以同一個不為零的數,分數的大小不變。通過順向與逆向觀察就可以總結出分數的基本性質。

3.逆想訓練。前蘇聯教育心理學家克魯捷茨基說過:“在一種逆向思路中,思想并不總是必須沿著完全相同的思路進行,而只是向相反方向運動。”這里指的“向相反方向運動”是逆聯想能力。逆想訓練就是要求學生能由眼前的事物、事實或過程聯想到與之相反或相對立的另樣事物、事實或另種過程,從而進入新的數學意境,產生新的領悟。

例如,某糧店有兩個倉庫,甲倉庫存米是乙倉庫存米的4 倍。當乙倉運出5 噸米后,甲倉存米則是乙倉的6 倍,甲、乙兩倉原來各有米多少噸?學生習慣于順著題意從倍數角度思考:5÷(6-4)=2.5(噸)(乙倉);2.5×4=10(噸)(甲倉),這種解法顯然是錯誤的。有的學生雖能看出作為一倍量的乙倉存米數是變化的,卻又不知從何入手。具有逆聯想能力的學生就能自覺地調整思考方向,從變化的量逆想到不變的量,從而用甲倉存米數5÷(1/4-1/6)=60為單位“1”的量,實現由“倍”到“率”的思路逆轉,便能很快地求出甲倉存米(噸),再求乙倉原有存米為60÷4=15(噸)。

4.逆用公式。小學數學中的公式都是求周長、面積、體積等。公式是解題規律的抽象概括,數學中的公式都具有雙向性,在正向應用的同時,加強公式的逆向應用訓練,不僅可以加深學生對公式的理解和掌握,培養學生靈活運用公式的能力,還可以培養學生的雙向思維能力。

例如,學生掌握了三角形的面積之后,出示下列練習題:一塊三角形的塑料面積是90 平方厘米,它的高是10 平方厘米,這塊三角形塑料的底邊長是多少厘米?

組織學生思索,三角形的面積=底×高÷2,可以逆推出三角形的底=面積×2÷高,由此可列式為90×2÷10=18(厘米)。

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在自己長期教學中，發現學生由于受習慣性思維的影響，形成了思維定勢，造成在解題及思考問題的過程中思維受阻，發揮不出自己的潛能，主要有下面幾種情況：

從教學形式看，最主要的是教師在數學課的教學中，往往采用“建立定理――證明定理――運用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的教學模式，忽視了逆向思維的培養與訓練，以致學生不能迅速而準確地由正向思維轉向逆向思維.

從思維過程看，由正向思維序列轉到逆向思維序列是思維方向的重建，是從一個方面起作用的單向聯想轉化為從兩個方面都起作用的雙向聯想.這種轉化給學生帶來了一定的困難，另外，一種思維在其逆向思維過程中并不一定恰好重復原來的途徑，所以正向思維的訓練并不能代替逆向思維的訓練.

從思維能力看，學生的思維從直觀、具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉化需要一個過程，學生在解答數學問題時的思維必然受到傳統的教學方法的約束；只具有機械的記憶和被動的模仿，思維往往會固定在教師設計的框框之內的定勢中，逆向考慮問題的思維并不順暢.2 逆向思維受阻的具體表現

2.1 缺乏顯而易見的逆向聯想

由于學生在學習過程中，進行較多的是由此及彼的單向訓練，而忽視了逆向聯想，這就造成了知識結構上的缺陷和思維過程中頑固的單向定勢習慣.

比如，證明：兩個平行平面中，一個平面內的直線必平行于另一個平面.很多學生無從下手，不知道要怎么表述.其實，逆用定義就可以了.設兩個平行平面為α、β，直線mα.因為α∥β，所以α∩β=（平行平面的定義）.又因為mα，所以m∩β=，所以m∥β（線面平行的定義）.

再比如，設三角形ABC的一個頂點A（3，-1），角B，角C的平分線方程分別為x=0，y=x，則直線BC的方程是 .很多學生嘗試了很多方法，就是沒有想到逆用角的平分線性質，其實因為y=x為角C的平分線，則A對直線y=x的對稱點A1（-1，3）一定落在直線BC上.因為x=0為角B的平分線，則A對直線x=0的對稱點A2（-3，-1）一定落在直線BC上.由兩點求出BC所在直線為：2x-y+5=0.

2.2 混淆定義、定理的正逆關系

對于運用正逆關系的數學命題，學生經常混淆題設與結論的順序.比如，勾股定理的逆定理的運用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形嗎？請說明理由.”學生認為運用的是勾股定理，理由是“因為AC2+BC2=AB2，所以52+122=132，所以ABC是直角三角形.”其實有“AC2+BC2=AB2”，已經是直角三角形了，還要“52+122=132”干什么呢？

2.3 忽視正逆轉化的限制條件

比如，函數y=（a2-3a+3）ax是指數函數，則有a= .由指數函數定義知a2-3a+3=1同時a>0且a≠1，所以a=2.本題容易忽視指數函數y=ax的限制條件a>0且a≠1.

再比如，已知函數f（x）=log2（x2+ax-a）的值域為R，求實a的取值范圍.

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一、逆向設問，培養學生的逆向思維的意識

在課堂教學中，教師除了對知識作正面講解外，還要經常有意識地挖掘互逆因素，反向設問，打破學生的思維定勢，對學生進行逆向思維的培養，加強學生對知識的理解和應用。

例如：在講絕對值的知識時，在對學生進行正面的訓練后可設計這樣的問題：若|a|=4，則a=?搖?搖?搖?搖.

像以上可逆向思維考慮的問題在初中教材中無處不在，教師如果有意識地去抓住，及時加以處理，就可促進學生思維向多向發散，這無疑對其逆向思維的培養有積極的作用。

二、抓住定義的可逆性對學生時行逆向思維的培養

定義教學是初中教學的一個重要環節，定義總是可逆的，具有性質和判定兩方面的作用。在教學中，讓學生學會從正反兩個方面理解、運用，對學生正確全面地理解定義和提高學生思維的靈活性都是有益的。

例如：對線段中點的定義可對學生進行正反兩方面的訓練。

（1）C為AB的中點（已知）

AC=BC（中點的定義）

（2）AC=BC（已知）

C為AB的中點（中點的定義）

三、重視公式、法則的逆應用，培養學生的逆向思維

在數學中，有許多的公式和法則，而且有許多公式和法則反過來也成立，可以正反使用。在數學學習過程中，學生往往習慣于公式法則的正向使用，而忽視了公式法則的逆應用，有時逆用公式，或適當改變公式的形式再用，往往能起到意想不到的效果。教師可抓住公式、法則的可逆特點，對學生進行公式的正反兩方面的使用訓練，既能使學生加深公式的理解和應用，又能培養學生的逆向思維。

例1：計算2×（）

這里可引導學生逆用同底數冪相乘和積的乘方公式：a=a•a，a•b=（ab）

解：2×（）=2×（）×=（2×）×=

例2.計算（x+3y-2z）-（x-3y+2z）

此題很多同學都習慣先算平方再算減法，當然逆用平方差公式就簡單多了。

解：原式=［（x+3y-2z）+（x-3y+4z）］［（x+3y-2z）-

（x-3y+2z）］

=2x（6y-4z）

=12xy-8xz

四、利用逆命題的教學，培養學生的逆向思維

數學中存在大量的命題，在教學中教師可經常引導學生考慮逆命題是否成立;成立的話，逆命題又應如何應用等，以幫助學生發現新的結論，加深學生對知識的理解，啟發學生思維的靈活性，培養學生逆向思維的能力。

如：定理：兩直線平行，同位角相等。

問：逆命題是什么？成立嗎？從而自然引導學生得出逆命題：同位角相等，兩直線平行。通過對逆命題的探索得到一個新的定理。

又如：命題：若a=b，則a=b。

問：逆命題是什么？成立嗎？這個命題的逆命題是：若a=b，則a=b。它是不正確的。

經常對學生進行這方面的訓練，讓學生養成反過來思考問題的習慣，可培養學生逆向思維的能力，讓學生從中發現許多新的結論，提高學生思維的深刻性。

五、在問題解決過程中重視基本逆向思維方法的教學，培養學生的逆向思維方法

在數學問題解決過程中，如果單純用一種思維方式去思考，有時往往會陷入困境。在教學中，要善于引導學生學會從不同的角度，不同的方向思考問題。順推不行時，考慮逆推；直接解決不行時，考慮間接解決，在解決問題遇到障礙時，迅速轉變思維方向，尋找解決問題的其他途徑，促使問題解決。教學基本方法是教學的重點內容。其中的幾個重要方法――分析法、反證法，是培養逆向思維的主要方法。在教學中，教師可加強對學生進行這些方法的指導。

1.分析法，人們稱之為“執果索因型逆向思維”。它是分析問題解決問題的非常重要的方法，在幾何證明題中，體現更多。讓學生在分析問題中養成“要證什么，需證什么”的思維方向，從命題的結論出發，逆推它成立的充分條件，達到把問題轉化，如此一步一步地進行下去，達到推出原命題的條件，從而使問題得以解決。教師通過分析法進行教學，可培養學生的逆向思維，提高學生分析問題解決問題的能力。

例如：如圖，在ΔABC中，BD和CE分別是ΔABC的兩條高.

求證：∠ABC=∠ADE.

分析：從逆向思維的角度出發，從結論出發，欲證明∠ABC=∠ADE，若能證明ΔADE∽ΔABC就可以得出∠ABC=∠ADE，這樣就把證明∠ABC=∠ADE的問題轉化為證明ΔADE∽ΔABC的問題。如何去證明ΔADE∽ΔABC呢？結合題設，這里已有∠A=∠A這個條件，要找到其余一組角對應相等是不可能的，若有條件=就可以得出ΔADE∽ΔABC，這樣把證明ΔADE∽ΔABC的問題轉化為證明=的問題，那么有如何去證明=呢？只要證明出ΔADB與ΔAEC相似即可得出=這個結論。這樣又把證明=的問題轉化為ΔADB∽ΔAEC的問題，而根據條件完全可以證明出ΔADB∽ΔAEC，從而問題得以解決。

2.反證法是數學中的一種重要方法，由于它的思維特點，在數學中也有廣泛的應用，下面是用反證法證明的一個例子。

例如：證明：一個三角形中至少有一個角不小于60度。

分析：至少一個角為60度的情況有三種：一個、二個、三個，這證明起來比較難。換個角度想，至少一個的反面是沒有一個角不小于60度，只要說明一種情況不可能就能說明命題成立。顯然，若沒有一個角不小于60度，則三個角都小于60度，這樣它的內角和將小于180度，這與三角形內角和定理矛盾。因此，沒有一個角不小于60度不成立，所以原命題成立。

通過這些數學基本方法的訓練，學生能明確用一種方法解不出來時，要轉化思維方向，從反面來思考，提高學生逆向思維的能力。

逆向思維有著許多優點和長處，在數學教學中，教師應重視加強學生的逆向思維能力訓練，使學生認識到，當一個問題用一種方法解決不了時，可轉換思維方向，進行反面思考，從而提高逆向思維能力。培養學生的逆向思維，不僅僅對提高學生分析問題、解決問題的能力有益，更重要的是能改善學生的思維方式，有利于培養學生思維的靈活性、廣闊性、深刻性，使學生形成良好的思維習慣，有利于激發學生的創新開拓精神。

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關鍵詞： 逆向思維 逆問 逆境 逆用

智慧的核心是思維，數學是鍛煉思維的體操，數學教學在培養思維能力方面，具有其他學科無法比擬的獨特作用。思維能力是在有意識、有計劃的訓練中得以培養和發展的，教師要根據教材內容，結合特征，對學生進行各種邏輯思維方法的訓練，特別是逆向思維的訓練也是很重要的。

一、“逆問”中積累逆向思維意識

數學知識中有很多互逆關系的，教師要經常有意識地挖掘互逆因素，進行逆向設問。這樣，不僅可以使學生對新知識的理解更深刻，而且可以消除思維定勢帶來的消極因素，從而培養學生逆向思維的意識。

例如：在教學《分數的意義》一課時，在教學完把一個月餅平均分成4份，取其中的1份，可以用1/4表示后，老師接著問：這一整個月餅怎么用1/4表示？在學生答出可以把4個月餅平均分成4份，那么一個月餅就可以用1/4表示后，又問：兩個月餅也用1/4該怎么表示？在學生答出可以把8個月餅平均分成4份，那么兩個月餅就可以用1/4表示后，再問：你對1/4有了什么認識？1/4還可以表示什么？這幾個逆向思維的問題，改變了原來的出示以下三幅圖，讓學生說一說每幅圖的陰影部分可以用哪個分數表示的學生運用正向思維就能輕而易舉解決的教學環節。這樣逆問，緊緊扣住1/4，讓學生去溯本求源，既理解了幾個物體可以看成一個整體，完善了對單位“1”的建構，又在分率和具體數量之間架起一座橋梁，明確了盡管分率1/4沒有變，但隨著總個數的變化一份表示的具體數量卻發生了變化，同時幫助學生積累了逆向思維的意識。

像上例可供逆向思維的問題在教材中無處不在，我們應當有意識地抓住它，并進行適當處理，幫助學生積累逆向思維的意識，使正向思維和逆向思維同步發展，減少正向思維對逆向思維的抑制作用。

二、“逆境”中養成逆向思維習慣

學生只具有逆向思維的意識是不夠的，教師還需要為學生創設“逆向思維的情境”，就是教師在教學內容和學生的正向思維間制造一種“不協調”，“不協調”必須有意識、巧妙地融于符合學生實際的知識中，且能在他們心里造成懸念，從而迫使學生不得不從另外的角度思考，即逆向思考。怎么設置“逆境”呢？

例如，在《分數的意義》一課中，為了使學生準確區分要求的問題應該用具體數量表示還是用分率表示，老師創設了這樣一個情境：出示一個筆袋，問：要把筆袋中的筆平均分給5個同學，每個同學分到多少會用分數表示嗎？由于筆的總量未知，用原來的正向思維，即筆的總支數除以人數很顯然已經無法解決，以此造成學生認知上的沖突，那么學生的思維重心必然會由總支數轉向唯一的已知條件“平均分給5個同學”上，也就是只能用分率表示每個同學分到的支數占總支數的幾分之幾這一思維的核心上。等學生得出每個同學分到的支數占總支數的五分之一后再問：筆袋里有10支筆，那么每個同學分到多少支？可以用哪個分數表示？而如果一開始就出示10支筆，學生往往會受過去經驗的影響，想到每個同學分到2支筆，而不會再思考其他結果。創設了這樣的情境后，學生不得不在“逆境”中調整思維的角度，進行逆向思考得出了每個同學能分到總支數的五分之一。

因而，適當地創設逆境可以催生逆向思維，使學生在逆境中逐漸養成逆向思維的習慣，能多角度、全方位地研究數學問題。

三、“逆用”中提升逆向思維能力

1.逆用定義概念。許多數學定義或概念中存在著可逆因素，利用這種定義的可逆性對問題進行分析研究，就能使某些解題過程得到簡化，學生的逆向思維能力也可以得到鍛煉。例如：在教學《比例尺》時，在學生掌握了比例尺的定義：圖上距離：實際距離=比例尺后，出示一幅地圖的比例尺：1∶1000，讓學生說一說是怎樣理解這個比例尺的，根據學生的回答歸納出三點。第一，圖上1厘米的線段表示實際距離10米；第二，圖上距離是實際距離的1/1000；第三，實際距離是圖上距離的1000倍。這樣，組織學生進行對定義的逆向轉換練習，擴大了學生的認知領域，在后繼解決求實際距離和圖上距離的實際問題時，學生都能根據歸納出的三點意義尤其是第一點靈活地選擇簡單的算術方法解決，如：在一幅比例尺是1∶500000的地圖上，量得甲、乙兩城的距離是12.5厘米。甲、乙兩城實際相距多少千米？學生根據1∶500000得出圖上1厘米表示實際距離5千米，那么圖上12.5厘米表示的實際距離就是：12.5×5=62.5（千米），很顯然，這種解法要比根據“圖上距離：實際距離=比例尺”用方程解來得簡單，如此簡單的解法正得益于對定義的逆運用。

2.逆用公式法則。在進行公式教學時，教師應對公式做適當變形，并強調公式的逆向使用，學生在遇到相關的問題時，就能做出有益聯想，會對公式作逆向使用，使一些難題迎刃而解。例如教學平面圖形的周長和面積計算公式后，要引導學生根據這些基礎公式推導出變形公式，如三角形的底=三角形的面積×2÷高，圓的直徑=圓的周長÷圓周率，等等。

學生在逆用公式法則中體會到了便捷，就會大大激發對“逆用”的興趣，這無疑會大大推動他們的逆向思維能力向著更高處發展。

總之，逆向思維不僅對解題能力有益，更重要的是改善學生的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品質，提高學習效果、學習興趣及提高思維能力。值得注意的是，正向思維有很大的積極面，決不能一味地追求逆向思維的訓練，否則適得其反，要結合學生的實際情況，適當、適度地培養他們的逆向思維，使逆向思維培養真正達到“風景這邊獨好”的境界。

參考文獻：

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一、學生逆向思維受阻的因素

1.從教學形式看，最主要是教師在數學課的教學中，往往采用“建立定理――證明定理――運用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的教學模式，忽視了逆向思維的培養與訓練，以致學生不能迅速而準確地由正向思維轉向逆向思維。

2.從思維過程看，由正向思維轉到逆向思維是思維方向的重建，是從一個方面作用的單向聯想轉化為從兩個方面都起作用的雙向聯想。這種轉化給學生帶來了一定的困難，另外，一種思維在其逆向思維過程中并不一定恰好重復原來的途徑，所以正向思維的訓練并不代替逆向思維的訓練。

3.從思維能力看，學生在解答數學問題時的思維單單從直觀、具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉化，學生在解答數學問題時思維必然受到傳統的教學方法的約束；只具有機械的記憶和被動的模仿，思維往往會固定在教師設計的框框之內的一種定勢。

二、逆向思維受阻的具體表現

1.缺乏顯而易見的逆向聯想

由于學生在學習過程中，進行了較多的是由此及彼的單向訓練，而忽視了逆向聯想，這就造成了知識結構上的缺陷和思維過程中頑固的單向定勢習慣。例：“1，0，-1的立方根分別是 ”，學生回答得非常輕松，也非常正確；但對“若某個數的立方根是它的本身，則這個數是 ”，這一問題，卻只有少數學生才能填寫完全的。像這些顯而易見的逆向問題，在教學中常常遇到，學生解答起來卻并不順利。

2.混淆重要定理的正逆命題關系

對于運用正逆關系的數學命題，學生經常混淆題設與結論的順序。

例：勾股定理的逆定理的運用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形嗎？請說明理由。”學生認為運用的是勾股定理，理由是“AC2+BC2=AB2，52+122=132，ABC是直角三角形。”其實有“AC2+BC2=AB2”，已經說明ABC是直角三角形了，還要“52+122=132”，干什么呢？

3.忽視正與逆轉化的限制條件

例：已知a+b，則│a│=│b│推出“a=b”就不全面了，遺漏了另一種情況“a=-b”。特別是對一些限制條件的逆求，學生更是束手無策，如：當a 時，│a- │=-2a；若 =1-x，則x的取值范圍是 ；使 成立的條件是 ；等等。

4.缺乏逆向變形的解決能力

例：計算 ，有些學生竟然對它進行通分，卻不會用 的變形。

5.缺乏逆向分析的解題思路

學生在分析問題時只習慣于從條件到結論，卻不會從結論出發去尋求解題思路，缺乏雙向思維解決問題的能力。

例：已知：在ABC中，AB=AC，BDAC于D，求證：BC2=2AC×CD的“BDAC”條件聯想到可以用勾股定理。有此想法的學生很少，完全做正確的學生更少。

三、逆向思維訓練在數學中的具體實施

1.定義教學中逆向思維的訓練

作為定義的數學命題，其逆命題總是存在，并且是成立的。因此，學習一個新概念，如果注意從逆向提問，學生不僅對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養學生養成雙向考慮問題的良好習慣。如：在幾何教學中，特別是入門階段，對每一個定義，都要引導學生分清正與逆的關系，對今后推理論證的教學很有裨益。值得注意的是教師在平時教學中，經常強調一個定理的逆命題不一定成立，在講定義時，如不強調它一定具有可逆性，將會引起學生對定義的逆用產生懷疑。

例：解方程： 。

分析：此題容易想到用一元二次方程的求根公式，但計算繁瑣，如注意到方程中各項系數之和“a+b+c=0”的特點，就可以逆用方程根的定義，可知“x=1”是方程的一個根，再根據韋達定理求出另一個根。

2.公式教學中逆向思維的訓練

數學中的公式總是雙向的，可很多學生只會從左到右順用公式，對于逆用，尤其是利用變形的公式更不習慣。事實上，若能夠靈活地逆用公式，再解題時就能夠得心應手，左右逢源。在此應特別注意兩點：

第一、強調公式的順用和逆用，“聚合”和“展開”。

第二、逆用公式是求代數式的值、化簡、計算的常用手段。

3.運算法則教學中逆向思維的訓練

數學中的很多運算都有一個與它相反的運算作為逆運算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開方都是互為逆運算，彼此依存，共同反映某種變化中的數量關系。而且在同一級運算中，可以互相轉化，如利用相反數的概念減法可以轉化為加法，利用倒數的概念可以轉化為乘法。

例：已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值。

分析：該題將同底數冪除法法則逆用后得到結果。

解：原式：x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= 。

4.定理教學中逆向思維的訓練

不是所有的的定理的逆命題都是正確的，引導學生探究定理的逆命題的正確性，不僅能使學生學到的知識更加完備，而且能激發學生去探索新的知識。

一元二次方程根的判別式定理、韋達定理的逆定理都是存在的，應用也十分廣泛。

a2-bc-8a+7=0

例：設a、b、c滿足

b2+c2+2ac-a2+2a-1=0

求：a的值范圍。

根據韋達定理的逆定理可知：b、c為關于x的一元二次方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0的根，

（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。

a的取值范圍為：1≤a≤9。

四、逆向思維訓練的實施策略

在數學教學的過程中，經常會遇到這樣一些問題，當從正面考慮時會出現很多障礙，或者根本解決不了，而從反面著手，往往可以使問題迎刃而解，再或者證明問題的不可能性等等都需要有非常規思路去解決。非常規地實施逆向思維的訓練常采用以下二種策略：

1.“正”難則“反”：

反證法是一種逆向思維的方法，被譽為“數學家最精良的武器之一”，是解數學題常用的方法。當題目出現有“至少”或“至多”字樣，或以否定形式給出時，一般采用反證法。

例：若三個關于x的方程：x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少有一個方程有實數根，求：m的取值范圍。

分析：若從正向考慮“三個關于x的方程中至少有一個方程有實數根”，情況較多，一一討論，解題就相當復雜。這時如果應用逆向思維，考慮到其它反面是“三個方程都沒有實數要根”，再從全體實數中排除反面求得的的結論就得到本題的答案。

解：假設三個方程均沒有實數根，則

16m2-4（-4m+3）

（m-1）2-4m2

4m2+8m

-

即： m> 或m

-2

其反面：當m≤- 或m≥-1時，原命題成立。

2.反“客”為“主”

例：已知：關于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一個實數根，求：實數a的取值范圍。

分析：按常規思路，把x當成主元，求出x，再對a進行討論，解題過程相當復雜，如果啟發學生運用逆向思維，把a當作主元，這種反客為主的技巧很新穎別致。

解：原方程可變為：a2-（x2+2x）+x3-1=0

[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0

解得：x=a+1或x2+x+1-a=0

原方程有且只有一個實數根，

方程x2+x+1-a=0無實數根，