導語：如何才能寫好一篇函數思想，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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1　對應思想

同學們可能對初中函數定義的“變量說”情有獨鐘，覺得容易理解.但請看下面的問題：已知x=2，3，4，5，y=1，能建立y關于x的函數關系嗎？類似的問題還有很多.這里的y是常數，不符合初中“變量”的概念，但是能建立y關于x的函數.

高中采用“對應說”，第一突破了“變量說”中對變量概念的限制，解決了上面的例子提出的問題；第二可以將函數運用于各種不同的研究對象.初中定義中的“變量”將研究范圍限制在實數集，“對應說”研究的范圍更寬泛，如實數與數軸上的點之間的對應關系，各種幾何圖形的周長、面積、體積與幾何圖形的大小之間的對應關系等，這些對應關系都可以歸結為函數關系.

對應是人的思維對兩個集合之間聯系的把握.中學數學中的各種表示、運算、函數及變換等都是對應.　通過對應關系，我們可以由此及彼去認識事物，如對應關系：t　s=vt，　當速度v已知時，　可以通過測量時間t計算路程s；對于普通溫度計，人們通過溫度與水銀柱高度的對應關系，可以從水銀柱的高度得知溫度的高低，因此，對應思想的建立是人的認識能力的突出表現.　對應也可以看成是一種特殊的“關系”，其實函數概念的第三次擴張就是“關系說”.法國數學家柯西（Cauchy，1789～1857）在1821年的《解析教程》中這樣定義函數：在某些變量之間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變量的值，其他變量的值也可隨之確定，則將最初的變量稱為自變量，其他各個變量為函數.這個定義中，函數表達了變量之間的“關系”，而不關心用什么字母，是否用式子，或用一個式子還是多個式子來表示的問題，它樸素地反映了函數中的辯證因素.

2　等價變換的思想

變形、代換、轉化等是化簡數學問題的常見手段.但是在化簡過程中必須保持問題的等價性.很多同學常常缺乏這樣的意識，對初始問題“大刀闊斧”地處理后，改變了問題的等價性，而使得問題的解決出現了漏洞.那么如何提高化簡問題的等價意識呢？函數的定義域意識就是一個有效的方法.在函數的定義中，集合M稱為函數y=f（x）的定義域，它是f作用對象的集合，可以說是f生長的“土壤”，函數的一切性質都是在這個基礎上演變的.同學們在研究函數性質時，應樹立“定義域優先”的意識.例如在判斷函數奇偶性時，首先要判斷函數定義域是否關于原點對稱，函數的單調區間應是函數的子集等.

例如，已知函數f（x）的定義域是0，1，求函數f（2x）的定義域.

所謂函數f（x）的定義域是0，1，就是指f的作用對象必須在區間0，1內，或者說只有在區間0，1上，f才有意義.因此要使函數f（2x）有意義，2x必須在區間0，1內，即0≤2x≤1，0≤x≤12，則函數f（2x）的定義域為0，12.同學們今后在解決數學問題時，首先要思考研究對象存在的條件或范圍是什么，而且這個條件隨著對象的轉換相應變化，這樣才能保持問題的等價性.

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例1：已知0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞），試比較+與的大小，并說明你的理由。

分析：若本題用作差的方法來比較大小，則通分后分子、分母的結構都非常復雜，并且分子分母的取值符號不易確定。細心觀察式子：、與=2•，顯然它們都與函數f（x）=相關，因此問題轉化為比較f（x）+f（x）與2f（）的大小，聯想函數圖像就可解決。

解：設f（x）=，對y=變形得y=•即y-=，令x′=x-，y′=y-，則y′=（反比例函數）（如圖），由于y=f（x）在x∈（，∞）上的圖像是向下凸的，所以對于x≠x且x、x∈（，∞），函數圖像上兩點A（x，f（x））、B（x，f（x））連結弦AB的中點M（，），若過M作x軸的垂線交曲線弧于點N（，f（）），則N總在M的下方，所以＞f（），即f（x）+f（x）＞2•f（），當0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞）時必有+＞。

例2：已知橢圓C：+=1，P（a，0）是X軸上的動點，求點P到橢圓C上動點Q的最近距離g（a），并就g（a）=4時求a的值。

分析：動點P（a，0）到橢圓C：+=1上的動點Q（x，y）的距離是關于x、y的二元函數，欲求二元函數的最值，須將多元函數一元化，因此可以用橢圓的參數方程解之。

解：設Q（5cosθ，3sinθ）是橢圓C：+=1上的動點，則 |PQ|=（5cosθ-a）+（3sinθ）=16cosθ-10acosθ+（a+9）。若令t=cosθ，f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］，則問題轉化為求二次型函數f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］的最小值。數形結合易得：當a＜-1，即a＜-時，y=f（-1）=（a+5）；當-1≤a≤1時，即-≤a≤時，y=f（a）=（16-a）；當a＞1，即a＞時，y=f（1）=（a-5）。

注意到|PQ|=，得g（a）=|a+5|（a＜-）（-≤a≤）|a-5|（a＞），即為所求。

若g（a）=4，則易得a=±9。

例3：已知實系數一元二次方程ax+bx+c=0，若ax+bx+c+t（x-k）=0對于一切實數t都有實數根，試求實數k與方程ax+bx+c=0的根的關系。

解：聯想到函數f（x）=ax+bx+c，由條件f（x）+t（x-k）=0對于一切實數t都有實數根，當然對t=0該方程也有實數根，即方程ax+bx+c=0有實數根x≤x。而ax+bx+c+t（x-k）=0，即ax+bx+c=-t（x-k），由條件f（x）+t（x-k）=0對于一切實數t都有實數根，即兩曲線y=ax+bx+c與y=-t（x-k）對于t為任何實數都有交點。數形結合（如圖）便知x≤k≤x為所求。

另解：對于一切實數t，方程ax+bx+c+t（x-k）=0都有實數根，=（b+t）-4a（c-kt）≥0對于一切t∈R都成立，從而得到t+（2b+4ak）t+（b-4ac）≥0的解是R，=（2b+4ak）-4（b-4ac）≤0，即a（ak+bk+c）≤0。

例4：當a為何值時不等式log（x-2x+a）+3＞0存在正數解？

解：log（x-2x+a）+3＞0?圳0＜x-2x+a＜8?圳-x+2x＜a＜-x+2x+8，聯想到函數f（x）=-x+2x、φ（x）=-x+2x+8、ψ（x）=a，則原題題意即：存在x＞0，使f（x）＜ψ（x）＜φ（x），數形結合便得a∈（-∞，9）。

的方程；（2）設a＞0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）。

解（1）：f′（x）=3x-1，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線的方程為y-（t-t）=（3t-1）（x-t），即y=（3t-1）x-2t為所求。

證明（2）：過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，存在實數a、b使關于t的方程2t-3at+（a+b）=0有三個不相等的實數根。

令g（t）=2t-3at+（a+b），則g′（t）=6t（t-a）（注意到條件a＞0）。

當t∈（-∞，0）或t∈（a，+∞）時g′（t）＞0，當t∈（0，a）時g′（t）＜0，

函數g（t）在t∈（-∞，0）是增函數，在t∈（0，a）是減函數，在t∈（a，+∞）上是增函數，函數g（t）在t=0處取得極大值g（0）=（a+b），在t=a處取得極小值g（a）=b-（a-a）=b-f（a）。

2t-3at+（a+b）=0有三個不相等的實數根，

必須極大值（a+b）＞0且極小值b-f（a）＜0，即-a＜b＜f（a）。

例題6：（2008理科卷Ⅱ22題）設函數f（x）=，（1）求函數f（x）的單調區間；（2）如果對于任何x≥0，都有f（x）≤ax，求實數a的取值范圍。

解（1）：f′（x）==，顯然f′（x）=0，得cos=-，即x=2kπ+，k∈Z或x=2kπ+，k∈Z，

當f′（x）＜0時，x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，

當f′（x）＞0時，x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z，

函數f（x）的單調遞減區間是x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，

函數f（x）的單調遞增區間是x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z。

解（2）：若令g（x）=ax-f（x）=ax-，則g′（x）=a-=a-=-+a=3（-）+a-。

顯然當a≥時g′（x）≥0，即g（x）在x∈［0，+∞）是增函數，得g（x）≥g（0）=0，

所以當a∈[，+∞)時對于一切x≥0都有f（x）≤ax。

當0＜a＜時，令φ（x）=sinx-3ax，則φ′（x）=cosx-3a。當x∈［0，arccos3a）時得φ′（x）＞0，因此φ（x）在x∈［0，arccos3a）上單調遞增，有φ（x）＞φ（0）=0，這時ax＜，而當x∈［0，arccos3a）時f（x）=＞＞ax，不合題設。

當a＜0時存在x=使f（）=＞•a，即a＜0時存在x=使f（x）＞ax不合題設。

綜上所述，a∈[，+∞)即為所求。

例題7：（2008全國卷Ⅰ理科19題）已知函數f（x）=x+ax+x+1，a∈R，（1）討論函數f（x）的單調區間；（2）設函數f（x）在區間（-，-）內是減函數，求a的取值范圍。

解（1）：f′（x）=3x+2ax+1，令=4a-12=4（a+）（a-），

顯然，當-≤a≤時≤0，此時f′（x）≥0對于一切實數x成立，

當a∈［-，］時f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數。

當a∈（-∞，-）∪（，+∞）時＞0，這時f′（x）=0有兩個不等實數根：

x=--，x=-+，

因此，f′（x）＞0得x∈（-∞，-），x∈（-，+∞）時f（x）單調遞增，

f′（x）＜0得x∈（-，-）時f（x）單調遞減。

解（2）：若函數f（x）在區間（-，-）內是減函數，

則（-，-）?哿（-，-），

-≥-，并且-≤-，

即2-a≤，并且≥a-1，解之得a∈［2，+∞）。

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關鍵詞：建模思想；反比例函數；人教版；研究方法；函數

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）07-205-01

一、在對反比例函數的學習認識中，要首先研究了解其概念

就反比例函數概念而言，通俗來講，一般而言，如果說兩個變量的每一組對應值的乘積都是一個不為0的常數，則可以就說這兩個變量成反比例。其形式可以寫為y=k/x（k為常數，k≠0，x≠0），當這個函數關系成立時，該函數就叫做反比例函數。相比較一次函數，二次函數，反函數有它自己的特征和概念，二次函數的函數是二次的，而反比例函數的函數是一次的，一次函數是另外的一種函數。

在教學過程中，把建模思想運用到教學過程中，對學生的教育可以對比記憶、繪圖記憶，努力融入數學思想，這樣可以更好的把握反比例函數的概念，理解的也可以更深刻。

二、利用數學的建模思想，研究反比例函數的圖像，然后再根據圖像判斷其性質，這對數學的學習和研究使很有必要的

研究反比例函數，來研究其性質和圖像的特征和函數的單調性，根據反比例函數的概念和函數的表達式來研究其單調性。

根據反比例函數的表達式，描點來畫其圖像，可以看出反函數的圖像是一條雙曲線，從圖像上來看，可以發現它是關于原點對稱，由奇偶函數的概念可知反函數是奇函數。

而一次函數的圖像是一條直線，二次函數的圖像是一條拋物線，根據每個函數的表達式的不同，每種函數的圖像也不相同，當然，其性質也不可能相同。反比例函數是九年義務教育中學的最后一種函數，同學們通過對其他函數的學習，對這一類函數多少已經有些了解，了解如何去研究這一類函數的性質，去研究這一類函數的圖像，在教學過程中，融入數學中的建模思想，親手自己畫圖像，并且研究圖像，通過與一二此函數的對比研究和反復記憶，來更深刻的理解和明白反比例函數，加深對反比例函數的進一步的研究，更深刻地理解和記憶反比例函數。

三、在反比例函數的學習過程中，要充分將建模思想融入進去，并且能夠根據實際情況來舉例研究，這樣對反比例函數本身的學習會有很大的幫助，對理解也會有很大的幫助

建模思想是數學研究中一個很重要的思想，也是在學習中對學習和知識的研究和掌握很有幫助的一種思想，學習反函數的過程中，充分運用建模思想，在學習完其基本知識后，再出一些相關的題目，或者根據生活中的一些情況進行講解，這對反函數的認知有很大的幫助。

實時的針對反比例函數出一些題目，例如，根據性質如何來判斷它是哪一種函數，或者，告訴學生們某一函數的表達式，讓他們來判斷是什么函數，說明其性質，并且能夠準確的畫出圖像。性質、圖像、表達式之間能夠靈活的轉換是學習函數、弄明白函數的一個重要的方法，一個重要的要求，這也是在數學中建模思想的要求，是數學建模思想中一項很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型檢驗。

四、數學學習中，還有很重要的一項要求即要列出重點，強調重點，這是一項很重要的工作。當然，對于反比例函數的研究與學習，也是一樣的

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。所以在學習中要強調一些很重要的東西，比如說函數性質等，在反比例函數中，要突出強調其表達式，反比例函數的性質，關于原點對稱，是奇數函數，并且重點研究一下它的圖像，讓同學們可以明白哪部分是重點，如何學習，并且要好好的學習記憶。建模思想本身就是數學類的思想，強調重點、重點記憶更是學習的一個重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入進來。

總之，當今時代的發展，建模思想早已是數學中很重要的思想，對于九年義務的教育，對于反比例函數的學習，要掌握其概念、表達式、性質和特點，數學本身就是一門很枯燥的學科，過多的都是理論化的東西，將建模思想融入學習，對掌握反比例函數是很有幫助的，也是很有必要、很重要的。

參考文獻：

[1] 朱宸材；3.4 反比例函數[J]；中學生數理化（初中版）（中考版）；2014年01期

[2] 劉玉紅；反比例函數圖像的一個結論及其應用[J]；中學數學雜志；2014年02期

[3] 王建霞；反比例函數的圖像和性質（第二課時）[A]；河北省教師教育學會第一屆教學設計創新論壇論文集[C]；2011年

[4] 劉 軍；從反比例函數的易錯題談函數的學習[J]；數理化解題研究（初中版）；2014年05期

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高考對函數與方程思想的考查，通常以選擇題和填空題的形式考查函數與方程思想的簡單應用，而在解答題中，則從更深層次，在知識網絡的交匯處，從思想與相關能力綜合的角度進行考查．

1．函數與方程思想在解析幾何中的應用

例1 直線y=kx+1和雙曲線x2－y2=1的左支交于兩點，求k的取值范圍．

分析：本題題意簡單明了，是將解析幾何問題轉化為代數問題解決．

解：將直線方程代入雙曲線方程得到(1－k2)x2－2kx－2=0 （*），

在(－∞,－1］上有兩相異實數根，即得到1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0(x1+1)+(x2+1)

1

這種方法固然可行，但如果我們注意到一個邏輯關系，方程（*）如果有負根，則必定在(－∞,－1］內（這是因為直線和雙曲線的左支交于兩點），因此就只需方程（*）有兩負根即可．

則有1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0x1+x2=2k1－k20 ，

而以上四個不等式則可以通過觀察得到解，則有1

點評：解析幾何的本質就是用方程來研究曲線，理所當然就應該運用方程思想來解決解析幾何問題.

2．函數與方程思想在數列中的應用

例2 已知數列{an}為等差數列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項和，使得Sn達到最大值的n是 ．

分析：可先求出通項公式，并得到Sn是關于n的一元二次函數表達式，結合二次函數求解．

解：先求通項公式，由a1+a3+a5=105，得到a3=35，由a2+a4+a6=99，得a4=33．

故an=a4+(n－4)(－2)=41－2n，

Sn=－n2+40n，Sn是一個關于n的二次函數，當n=20時，取得最大值．

點評：數列本質上是函數.

本題在求出通項公式的基礎上，構建了Sn關于n的函數．函數思想不僅僅是使用函數的方法研究和解決函數問題，更重要的是構建函數關系，用函數的方法，

解決與函數有關的其它問題．

3．函數與方程思想在不等式中的應用

例3 若關于x的方程4x+a•2x+a+1=0有實數解，求實數a的取值范圍．

分析：本題是關于x的方程，若把2x看作一個變量，則問題變為二次方程在某區間上有解，即根的分布問題，為求a的范圍，可以根據二次方程根的分布，解不等式組，也可以分離參數．

解法1：令t=2x(t>0)，則原方程化為t2+at+a+1=0，問題轉化為方程在(0,+∞)上有實數解，求a的取值范圍．

則有由a2－4(a+1)≥0－a+Δ2>0 ，解得a≤2-22，

解法2：令t=2x(t>0)，則原方程化為t2+at+a+1=0，變形得

a=-1+t21+t

=-(t2－1)+2t+1

=-［（t-1）+2t+1］

=［（t+1）+2t+1-2］

≤-（22-2）=2-22．

點評：解法1的思路是換元后轉化為一元二次方程在區間(0,+∞)上有實數解，求參數a的取值范圍；

解法2是換元后運用分離參數法把參數a作為t的函數，求函數的值域，這種方法的實質都是解不等式，求參數范圍．

4．函數與方程思想在立體幾何中的應用

例4 正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD平面ABEF，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a(0

分析：由于點M、N分別在異面直線AC和BF上移動，MN的最小值則可以理解為AC、BF之間的距離，當然也要注意到AC和BF是線段而不是直線，MN的最小值未必是異面直線AC和BF之間的距離．

解：構建MN的目標函數，用代數方法解決如下：

過M作MOAB于O點，連結ON，由題設可得到，

則由MOBC=AMAC=AOAB=2－a2，

所以MO=2－a2，

又FNFB=2－a2=AOAB，

ON∥AF，則ON=a2，

則在直角三角形MON中，

MN=（2-a2）2+（a2）2

=(a－22)2+12，

當且僅當a=22時，

線段MN取到最小值為22．

點評：求立體幾何中的最值問題，不妨將該問題轉化為函數求最值問題．

5．函數與方程思想在三角中的應用

例5 求函數y=(sinx+a)(cosx+a)的最值(0

分析：遇到sinx+cosx與sinxcosx相關的問題，常采用換元法，再將問題轉化為二次函數問題，用sinx+cosx表示sinxcosx．

解：令sinx+cosx=t，則有t∈［－2，2］，

sinxcosx=t2－12，

則y=12(t+a)2+a2－12，

由0

知道－2≤－a

當t=－a時，ymin=a2－12，

當t=2時，ymax=a2+2a+12．

點評：本題的關鍵是抓住sinx+cosx與sinxcosx的聯系，轉化為一元二次函數問題．

6．函數與方程思想在二項式定理中的應用

例6 設(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+a3+a5= ．

分析：本式為二項展開式的偶數項系數之和，而不是偶數項二項式系數之和，可通過賦值法求解．

解：令f(x)=(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

則令x=1可以得到f(1)=(2－1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1

令x=－1可以得到f(-1)=(2+1)5=a0－a1+a2－a3+a4－a5=35

兩式相減再除以2得到a1+a3+a5=－121．

點評：通過賦值法解決方程問題，則賦予了二項式更豐富的內涵．

7．函數與方程思想在概率統計中的應用

例7 某電器商經過多年的經驗發現，本店每個月售出的電冰箱的臺數ξ是一個隨機變量，它的分布列如下：

ξ123……12

P112112112……112

設每售出一臺冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保管費用100元.

（1）若電器商月初購入x臺電冰箱，則其月收益的期望值是多少？

（2）電器商每月初購多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？

分析：本題是利用概率的知識來解決的實際問題，同樣可轉化為函數的問題求解．

解：（1）設x為月初電器商購進的冰箱臺數，只需考慮1≤x≤12的情形，

此時電器商每月的收益

y=300x(ξ≥x)300ξ－100(x－ξ)（ξ

則Eξ=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2 +…+［300(x－1)－100］px－1

=300x(12－x+1)•112+112［300×x(x－1)2－100×(x－1)x2］

=253(－2x2+38x)．

（2）x∈N，

x=9或10時收益最大．

點評：概率中的很多問題可以結合函數與方程思想解決．

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一、運用函數的有關概念研究數列

數列的通項公式an以及前n項和Sn均是關于變量n的表達式，因此在解題過程中,尤其是遇到等差、等比這兩類特殊的數列時,可以將它們看成函數,運用函數的性質和特點來解決問題.對于等差數列｛an｝，它的通項公式an=a1+(n-1)?d，可以寫成an=dn+(a1-d)，它是n的一次函數(特殊地,當公差為0時是常數函數)，對應的函數為an=f(n)＝An+B（A,B為常數）；等差數列前n項和Sn=na1+n(n-1)2?d ,可以寫成Sn=d2n2+(a1-d2)n ，Sn是n的二次函數（缺常數項）,對應的函數為Sn=f(n)=An2+Bn（A,B為常數）.對于等比數列{an}，它的通項公式an=a1?qn-1，可化為an=(a1q )?qn，對應的函數為an=A?qn（A為常數）, 前n項和公式Sn=a1?(1-qn)1-q(q≠1) ，可化為Sn=a1q-1?qn-a1q-1 ，對應的函數為Sn=K?qn-K(K是常數且q≠0,q≠1)，運用這些特殊函數，可以快速找到解決數列問題的突破口.

【例1】 設等差數列{an}與{bn},它們的前n項和分別為Sn和Tn,若SnTn=2n3n+1

，求anbn .

思路導引：等差數列前n項和Sn對應的函數為:Sn=An2+Bn （A,B為常數），

由SnTn=2n3n+1

，設Sn=K?2n2,Tn=K?(3n+1)?n ，其中K≠0.

當n=1時，anbn=S1T1 =12 ；

當n≥2時，anbn =Sn-Sn-1Tn-Tn-1 =

K?2n2-K?2(n-1)2K?(3n+1)?n-K?［3(n-1)+1］?(n-1) =2n-13n-1 ；

綜上所述：anbn =2n-13n-1 (n∈N*).

【例2】 在等比數列{an}中,前n項和為Sn,已知S2=3,S4=15,求Sn.

思路導引：由題設知，公比q≠1考慮到等比數列前n項和對應的函數為：Sn=K?qn-K(K是常數且q≠0,q≠1,則有：

K?q2-K=3，K?q4-K=4

K=1，q=2

或K=1，q=-2

所以，Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1.

二、以函數圖象為工具，直觀簡化數列問題

函數圖象是函數特征的直觀體現，利用函數圖象解決數學問題（以形助數）是我們解決問題中經常采用的手段.等差、等比數列的通項及求和公式與一次函數、二次函數、指數函數都有聯系，應用相應函數的圖象能直觀有效地簡化某些數列問題.

【例3】 在等差數列{an}中,若a1＜0,且S3=S15,試問這數列的前幾項之和最小?

思路導引:Sn對應的函數為f(n)=An2+Bn（A,B為常數）,因為a1＜0所以對應的二次函數圖象為開口向上且過原點的拋物線, 由f(3)=f(15)知拋物線最低點的橫坐標為n=3+152=9（如圖1所示），即n=9時, Sn最小.

圖1

變式題：（1992年全國高考試題）設等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a3=12,S12＞0,S13＜0,指出S1,S2,S3，…,Sn中哪一個最大?

思路導引: 由S12＞0,S13＜0知Sn對應二次函數的圖象為開口向下且過原點的拋物線（如圖2）,與橫軸的一個交點的橫坐標為0,另一個交點的橫坐標在區間（12，13）內,可見其頂點橫坐標在區間（6，6.5）內,離對稱軸最近的整數為6，

所以當n=6時,Sn 最大.

圖2

評述:本題的一般解法是利用S12=12(a1+a12）2=6(a6+a7)＞0 ,

S13=12(a1+a13)2 =12a7＜0，

得a1＞a2…＞a6＞0＞a7＞…,故當n=6時,Sn最大.

而利用函數圖象，解法直觀,簡單快捷.

三、利用函數的性質化解數列問題

數列的通項公式及前n項和公式均是變量n的函數，深入挖掘并利用函數的性質可以大大簡化解題過程，函數的單調性、最值性、周期性等性質在數列中應用廣泛.

【例4】 已知數列{an}的通項an=(n+1)?(1011)n(n∈N*) ，試問該數列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數；若沒有，說明理由.

思路導引: 由于該數列不是直接與等差、等比數列相關的數列,形式看起來比較復雜,但若從函數角度，可利用單調性來研究：an+1-an=(n+2)?(1011 )n+1-(n+1)?(1011 )n=(1011 )n?9-n11

當n＜9時, an+1-an＞0，即an+1＞an；

當n=9時,an+1-an=0 ,即an+1=an;

當n＞9時, an+1-an＜0,即an+1＜an；

故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12…,這說明數列{an}中存在最大項,為第9項或第10項.

評述:本題也可以化歸為解不等式組an≥an-1an≥an+1

來解決,但計算繁雜，而利用函數的單調性更能發現數列的變化趨勢，顯得更簡捷.

【例5】 已知函數f(x)=a?bx的圖象過點A(4,14 )和點B(5,1),記an=logf(n)2，Sn是數列{an}的前n項和，整數104是否為數列{anSn}中的項？若是，求出相應的項；若不是，則說明理由.

思路導引：易求出an=2n-10,Sn=n(n-9),an?Sn=2n3-28n2+90n,觀察an?Sn的形式特點，建立函數f(n)=an?Sn=2n3-28n2+90n，由函數的導數易求得該函數的極大值與極小值. 由f′(n)=6n2-56n+90＞0n＜2或n＞8,則,所以f(n)極大=f(2)=84,f(n)極小=f(8)=-48，所以數列{an}前8項不含104；

因為數列{an}從第8項起是遞增數列，且f(22)=9724＜104,f(23)=11592＞104.

所以，104不是數列{anSn}中的項.

篇6

由于小學生年齡的限制，他們對具體的、靜止的、常量的事物容易理解，對動態的、變化的、運動的現象難于把握，學生對函數概念的理解有一個過程。但作為教師我們不能無視函數思想的重要性，還應該著眼于學生的長遠發展及終身發展。因此，我們在小學數學教學中應針對小學生的特點，將函數思想進行適度的滲透，突出本質，主要在以下兩個層次的滲透：

層次一：函數概念的滲透

函數思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓學生觀察《20以內進位加法表》，發現加數的變化引起的和的變化的規律等，都較好地滲透了函數的思想，其目的都在于幫助學生形成初步的函數概念。

層次二：函數表示法的滲透

要想把函數思想融入課堂教學成就要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行函數思想方法滲透的各種因素。如：小學數學中幾何圖形的周長，面積和體積公式，實際上就是用解析法來表示變量之間關系的函數關系式。如圓面積公式S=πr2，圓面積隨著半徑的變化而變化。

結合自己的實踐和思考，筆者認為小學階段函數思想的滲透主要有以下幾個關鍵點：

一、在名數向常數的過渡過程中滲透函數思想

小學低年級學生所學習的數的概念是在熟悉具體事物的基礎上逐漸建立起來的。低年級數數、比較數的大小等知識的學習，可以看作是學生對量的認識由名數向常數的過渡過程。如通過3本書、2支筆等來認識3和2，前者我們稱之為名數，后者稱之為常數。顯然后者脫離了具體的事物，具有了數所特有的抽象性。由此可見，常量的概念不是一下子就建立起來的，對常量的概念的建立，首先必須通過由名數向常數的過渡。正如同懷特海所說：“人類認識到7條魚和7天之間的共同點，才使思想史前進了一大步，才具有了‘純數學觀念’。”而實物與常數之間的過渡過程，恰恰可以滲透一一對應的函數思想。

二、在數的計算中滲透函數思想

一方面可在四則運算意義中滲透函數思想。四則運算是小學數學的重要內容，而當我們用函數的觀點看這些運算意義時，對這些運算就有了新的認識。我們可結合不同形式的計算練習，豐富對函數思想的滲透。如填一填、連一連的題目蘊含著函數的對應關系、等量關系及變量的滲透等豐富的代數思想。四則運算中的和、差、積、商的變化規律是進一步學習數學知識的基礎。但由于變化規律比較復雜，考慮到兒童的接受能力，在通用教材中除了對商不變規律作了明確的闡述以外，對其他的一些規律只是作了一些滲透。我在計算教學中，緊緊抓住教材中的某些練習題，適當滲透一些和、差、積、商的變化規律，讓學生積累一些感性的認識而并不作為教學要求。這樣，一方面可以培養學生初步的函數觀念，另一方面又可以發展學生的思維，提高學生的計算能力。

三、在規律的探尋中滲透函數思想

現行《數學課程標準》把“探索規律”作為滲透函數思想的一個重要內容，“探索規律”實際上就是培養學生的“模式化”思想，發現規律就是發現一個“模式”，并能夠用多種方法表達“模式”的特點。讓學生通過觀察數列、圖形等變化的規律，探索模式，合理推測發展趨勢，都可以適時地滲透函數思想。

四、在公式教學中滲透函數思想

學生在小學階段學習了一些速度、時間、路程這樣的數量關系，從變化的觀點看，它們都反映了一定的函數思想。如：三年級學習長方形的周長計算時，介紹了字母公式，這就為形成表達式減小了困難。教師可以以此為滲透點，在學生已知面積、體積計算公式的基礎上，使幾何圖形或幾何體的邊長（或半徑、高）發生變化，從而引起面積或體積也發生變化。通過改變看問題的角度，從變化的觀點看待邊長（或半徑、高）與面積或體積的關系，并由此引出變量之間關系的第二種表示方法――代數式。

篇7

【關鍵詞】二次函數 數形結合

數學思想 初中數學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11A-0084-02

數學新課程標準明確提出，數學教學應注重滲透數學思想，提升學生的數學素養。數形結合思想是指導學生數學學習的重要數學思想之一，掌握數形結合的方法，可以極大地提高學生的數學學習效果，訓練學生的數學思維，讓學生終身受益。二次函數作為初中數學教學的重要內容，集中體現了數形結合思想，是訓練數形結合方法的良好載體。結合初中數學二次函數教學，探尋滲透數形結合思想的有效策略，是一項值得教師研究的課題。

一、解析二次函數的學習內容，闡釋數形結合思想

數學知識是數學思想的直接呈現。很多教師為了應對考試，在日常教學中偏重于數學知識的傳授，而忽略了數學思想的教育，制約了學生的全面發展。二次函數在初中數學課程中占有十分重要的地位，是函數與方程、數形結合、轉化、類比等數學思想的良好載體。教師應認真地研讀教材，闡釋其中包含的數形結合思想，促使學生對數形結合思想形成直觀的認知。

在學次函數之前，學生已經具備了一次函數、反比例函數的學習經驗，也初步了解數形結合思想在函數學習中的應用。因此，在學次函數知識時，教師可以引導學生借鑒前面的學習方法，從掌握圖象和性質出發展開教學。在學習這些知識時，教師要適時向學生滲透：不論是[y=ax2]型的圖象特征，還是[y=ax2]、[y=a（x+m）2]和[y=a（x+m）2+k]三種二次函數的圖象之間的關系，以及一般二次函數[y=ax2+bx2+c]的圖象與[y=ax2]的圖象之間的關系，都不可避免地需要對函數關系式和圖象進行研究，這些內容的學習必然會涉及函數表達式與圖形的結合，需要通過觀察圖象找出其中的變化規律。同時，這部分內容還需要學生能夠運用二次函數解決實際生活中的求“最值”的問題，這類問題也可以通過對函數關系式的化簡，作圖解答，進一步體現了數形結合的思想。

二、分析二次函數的圖象性質，滲透數形結合思想

在初中數學教學中，二次函數的圖象和性質是重點也是難點，是數形結合思想的集中體現。教師組織學生學習這一部分知識時，通過指導學生運用正確的作圖方法，按照列表、描點、連線的作圖步驟，正確地作出二次函數的圖象之后，引導學生認真觀察圖象，積極思考，進行判斷和歸納，發現二次函數圖象變化的規律，得到二次函數的性質，有效地滲透數形結合思想。

在學習“二次函數[y=ax2]（a不等于0）的圖象和性質”時，教師引導學生通過對函數關系式的解析，確定了自變量的取值范圍，根據函數關系式，用表格的形式列出隨著自變量[x]的變化相應的[y]值，然后，按照表格列出的每組數據在坐標系內描點，再把描出的點連接起來，得到二次函數[y=ax2]的圖象，再指導學生觀察圖象，包括圖象的形狀、開口方向、頂點坐標、函數增減性的變化趨勢等。通過這種由“數”與“形”結合的方法，學生發現二次函數[y=ax2]的圖象是拋物線，這個拋物線的頂點坐標為（0，0），對稱軸是[y]軸，當[a]>0時，二次函數[y=ax2]圖象開口向上;當[a]<0時，二次函數[y=ax2]圖象開口向下。在分析二次函數[y=ax2]的性質時，學生親身體驗了“數”與“形”之間的轉換，對數形結合思想有了比較具體的認知。

由上例可知，二次函數的圖象和性質本身就是數形結合思想的良好載體，也是對學生進行數形結合思想教育的有效方式。教師在引導學生作圖、觀察、推理的過程中，直接向學生滲透了數形結合思想，給學生留下深刻的印象。

三、借助二次函數的研究方法，理解數形結合思想

數學思想指導數學學習方法，數學知識的研究方法恰好也可以體現數學思想。在學次函數的內容時，教師在數形結合思想的指導下，按照探討函數知識的常用步驟和方法，幫助學生分析研究二次函數性質的思路，明確研究步驟，讓學生學會應用數形結合思想探究數學知識的一般方法，掌握解決數學問題的具體步驟，加深學生對數形結合思想的理解。

在學習“二次函數”的內容時，教師為了激發學生的學習興趣，滲透數形結合的思想，在上課伊始，就結合實際生活問題創設學習情境：擬建設一個是長方形的溫室，周長是120米，溫室內部有通道，分別與長方形的兩邊相隔2米和1米，那么，設溫室的種植面為[y]，其中一條邊長是[x]，兩者之間的關系式是什么？這種實際問題的解答需要學生靈活應用數學知識。學生在理解題意時存在困難，教師提示學生可以先根據題目畫圖，能比較直觀地呈現出等量關系，進而列出y與x之間的關系式。學生通過畫圖，對于長方形的長和寬一目了然，順利地列出[y=（60-x-4）][（x-2）=-x2+58-112]的函數解析式。最后，直接引出了二次函數的定義，以及二次函數相關的“二次項系數”“一次項系數”和“常數項”的概念。這樣的引入方法，也是運用了數形結合思想方法，促使學生深入理解數形結合思想，訓練學生的數學思維。

由上例來看，通過利用數形結合的方法，按照“先畫出圖象，再總結性質，最后運用數學語言進行描述”的三個步驟，分析二次函數的研究方法，讓學生深入理解數形結合思想。

四、通過二次函數的習題解答，應用數形結合思想

數學思想的學習不能通過簡單機械的記憶來完成，而是要通過實際應用把數學思想內化，成為學生數學思維的習慣。練習題的解答是滲透數學思想的重要方式。在完成了二次函數知識的學習后，教師可以選擇一些典型的練習題目，引導學生應用數形結合的思想、方法，形成獨特的應用體驗，從而使數形結合思想在學生的頭腦中扎根，自覺地指導學生的解題過程，提高學生的解題能力。

在學習“二次函數[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象和性質”的知識后，教師結合本節內容的教學目標，出示練習題：拋物線y=x2-3x+2不經過（ ）。A. 第一象限;B. 第二象限;C. 第三象限;D第四象限。判斷拋物線所在的象限是學次函數的內容后需要掌握的知識點。本題具有一定的典型性，教師先讓學生自己解答，有學生很快就給出了C答案。“為什么呢？請說說你的解題方法。”教師提出問題，引發學生深入思考。學生說：“我選取了這條拋物線的頂點、與x軸的交點三個點，并且判斷了拋物線的開口方向是向上，畫了個簡圖，通過看圖發現拋物線不過第三象限。”教師肯定了學生的回答，并進一步強調：“通過畫圖解決二次函數問題是一種快速準確的方法。同學們要學會應用數形結合的解題方法，把抽象的數學問題轉化為形象直觀的圖形，提高解題效率。”學生在解題中應用數形結合的解題方法，使數形結合思想內化到學生的知識能力結構中，更好地指導數學學習。

借助典型的二次函數練習題，讓學生在解題過程中體會數形結合思想，升華對數形結合思想的認識，獲得應用數形結合思想方法解題的親身體驗，強化學生自覺應用數形結合方法解題的行為，增強學生的數學素養。

篇8

一次函數反映的是數量關系與變化規律，是最基本的函數，學好一次函數是學好函數的基礎。對于學生而言，一次函數學好了，真正做到數形結合，再學習后面的反比例函數和二次函數便會容易得多。本文結合教學實踐，對一次函數中“數形結合”的思想進行探討，以指導學生更好地理解函數的精髓，掌握解題方法。

一、從數到形，以形助數

例1　一個沙漏中有100g沙子，沙子以每秒鐘10g的速度漏出。沙漏中余下的沙子y（單位g）與沙漏時間x（單位s）之間的函數圖象是（）。

解析：y為余下的沙子，隨著沙漏時間的增長，剩余的沙子y必然減少，因此，該函數一定是減函數，由此可以排除A和C選項。沙子最多時候為20g，漏完之后為0g，因此y的區間一定是0～20，由此可以排除D選項，因此本題正確答案應為B。

二、從形到數，量化入微

例2　有一種玩具小汽車的車速可以在1分鐘之內加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高車速，最高車速為每秒40m，達到40秒之后便保持40m/s的速度行駛。假設時間為x（單位：s），車速為y（單位：m），則y與x的函數圖象如下圖所示。

（1）根據圖象，寫出當1≤x≤7時，y與x的函數關系式。

（2）計算車速要想達到35m/s時，需要多長時間。

（3）求出在多長時間之后，小汽車的速度就不再提高。寫出小汽車車速達到40　m/s之后，y與x的函數關系式。

解析：（1）根據題意可知，此玩具汽車的速度分為三個部分，首先是第1秒內提高到10　m/s，之后以5　m/s的速度提速，在提到40　m/s的速度后便勻速行駛。當1≤x≤7時，小汽車是在10　m/s的基礎上，以5m/s的速度加速。因此可以得出y與x的函數關系式為y=10+5（x-1）。

（2）車速達到35m/s，代入函數式，35=10+5（x-1）。經計算得出，x=6。即在6秒時，小汽車的車速可以達到35m/s。

（3）由題意可知，小汽車車速在達到40m/s之后，便不再加速，即y≤40。經計算可以得出，x=7時車速可以達到40　m/s，此時車速不再提高。在x≥7時，y與x的函數關系式為y=40。

在解答此類題目時，首先應充分理解題意。應注意觀察分段函數圖象的形狀特征，從而確定函數解析式，然后再利用函數圖象的性質來解答題目。

三、數形結合，復雜變簡單，抽象化具象

例3　在某工廠中，有一批圓珠筆需要組裝。工人甲和乙各每分鐘組裝10支。后來工人甲因身體不舒服回家休息，剩余的全部由工人乙獨自組裝。剩余圓珠筆數量y（支），組裝時間為x（分鐘），y與x的函數圖象如下圖。

請結合圖象回答下列問題：

（1）根據圖中信息，工人甲一共組裝了多長時間，工作量是多少？

（2）寫出y與x的函數關系式。

（3）組裝完所有圓珠筆一共工作了多長時間？工作量是多少？

解析：（1）根據圖象中提供的信息可知，需要組裝的圓珠筆共400支，在組裝完200支以后，剩余圓珠筆數量的組裝速度開始減緩。由此可知，甲乙共一起組裝了200支。由此可以得出甲乙共同工作時間為10分鐘，甲組裝的圓珠筆為100支。

（2）根據函數圖象可知，當0≤x≤10時，y=400-（10+10）x=400-20x；當10≤x≤30時，y=200-10（x-10）=300-10x。

篇9

【關鍵詞】變量 函數 規律

近年來全國各地的中考填空題最后一題常以找規律題壓軸，考查學生的各種綜合能力，進行人才選拔。因此，找規律題的找規律引起了數學教師們的高度重視。 本人在數學教學和探索過程中也得出了幾點感悟。

一、找規律題考查的是學生的形式抽象邏輯思維和歸納推理能力

初中數學找規律問題是考查的啊學生的形式抽象邏輯思維及歸納推理能力，很抽象，是由個別到一般的推理問題。初一的學生已具備了抽象邏輯思維和各種推理能力，并隨著年齡的增長而提高。初中數學找規律問題正好符合這個階段學生的認知發展。學生通過找規律問題的探究可以發展以下幾種能力：1.閱讀能力，特別是符號語言、圖形語言。2.觀察能力：觀察數和圖形的變化。3.綜合分析能力。4.歸納總結能力。5.發散思維和創造性思維。

二、找規律與函數的關系（本文中n均為正整數）

觀察下列各組數據，找出規律，并分別求出第n個數的表達式。

例1：4、7、10、13…… 第n個數是（ ）

例2：1、3、9、27…… 第n個數是（ ）

例3：1、3、7、13…… 第n個數是（ ）

例4：1、3、7、15…… 第n個數是 （ ）

例1、2題直接根據序號n和對應的數字很容易找出規律，但是例3、4題直接根據序號n和對應的數字很難找出規律。有沒有一種通用的辦法可以解決以上四種數字找規律問題呢？本人經過長期的探索和驗證，發現找規律就是找序號和對應數字之間函數關系的過程，且根據相鄰兩數差或商的情況可以確定規律與哪種函數有關。

函數的定義是：在一個變化過程中，存在兩個變量x、y，若x有一個值，y唯一的值與它對應，那么y與x是函數關系，其中x是自變量，y是x的函數。在找規律題中 ，也存在兩個變量：序號n和對應的數y，且它們之間是一一對應的，所以數y是序號n的函數。因此找規律題的探索其實就是發現規律、寫出函數關系式的過程。初中的數字找規律題的函數關系主要是和一次函數、二次函數、指數函數有密切關系。

（一）等差

觀察一次函數y=kx+b，當x1=n時，y1= kn+b，當x2=n時，y2= k（n+1）+b，則y2―y1= k（n+1）+b―kn+b= k，發現一個數減去相鄰的前一個數差為常數k。

發現相鄰兩數差分別為：6、18、54…… 差中等商，商為3，即y=ax+k中底數a=3。

n 1 2 3 4

例13：1、3、7、15…… 第n個數是

分析：先在對應的數字上方寫出序號1、2、3、4……相鄰兩數差分別為：2、4、8，差中等商，商為2。第n個數是2n-1。

試一試：

例14：2、5、14、41…… 第n個數是

注意：對于等差和等商這兩種類型可以只列出三個數即可，但為了區別差中等差還是差中等商，應列出四個數來分析，比如例11和例14題。

三、掌握好以上四種類型可以解決更多的找規律問題

1.圖形找規律問題：只要把圖形問題轉化為數字問題即可

例15：平面內的一條直線可以將平面分成兩個部分，兩條直線最多可以將平面分成四個部分，三條直線最多可以將平面分成七個部分……

篇10

課前思考

“成正比例的量”是人教版六年級下冊第三單元教學的內容，這節課是在學生已經認識了比和比例的知識、常見的數量關系的基礎上進行編排的。這是一節概念課，通過本節課的學習，幫助學生理解正比例的意義，能找出生活中成正比例量的實例，并能應用知識解決一些實際問題，同時初步滲透函數思想。

本人曾多次執教過這節課，但每次總覺得課堂氣氛沉悶，學生的學習積極性不高，學生只是機械的跟著老師完成下面的教學環節：

教師出示例題中的表格，引導學生觀察并回答下列問題。

表中有哪兩種量？它們是相關聯的量嗎？

寫出幾組這兩種量中相對應的兩個數的比，并比較比值的大小。

這兩種量成正比例嗎？為什么？

思考一

“為什么？”——為什么要學習“正、反比例這部分的知識”？在六年級的教學內容中正比例和反比例一直是一個重要的內容，這部分內容肩負了幫助學生完成一次認識上飛躍的重要任務。學生將從大量對“常量”的認識經驗中逐步過渡到認識“變量”，這是函數思想滲透的重要契機。即“學習這部分的知識有助于逐步培養學生的代數思維，更好的實現小學與中學數學學習上的銜接”。

思考二

“是什么？”——這一知識的本質是什么？教材中用了一大段語言（共65個字）描述了成正比例的量和正比例關系，其實它就是學生今后要繼續學習的正比例函數的雛形，是研究兩個相關聯的變量之間的一種數學模型。說到函數，老師們可能并不陌生，雖然小學階段不出現函數這一概念，但在小學階段始終都滲透著函數思想，因為有變化的地方都蘊含著函數思想。

思考三

“怎么學?”——抓住本質，激活元認知，滲透函數思想。

函數的核心是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是‘過程’，不變的是‘規律’（關系）。”因此要為學生提供熟悉的、直觀的情境讓學生感悟生活中存在許多變化的量，而這些變化的量又有一定的聯系，如一個量的變化會引起另一個量的變化，而我們要探究的是相關聯的量的“變化規律”。

教學實踐：

（一）認識生活中變化的量，初步感知相關聯的量。

（1）師：同學們，在今年的春晚中有一個節目感動了全國許多的觀眾，它就是“時間都去哪兒了”。現在讓我們隨著音樂，再來欣賞一下這個節目。在欣賞的同時，請認真觀察，看看你能發現哪些數學信息。(課件出示5張大萌子成長的照片)

（2）學生觀察圖片并發現變化的量（年齡、身高）。

（3）把這些數據整理成表格，請看。

觀察表格，說說小女孩的身高是怎樣變化的？

師：（小結）身高隨著年齡的變化而變化，像這樣一種量的變化會引起另一種量的變化，在數學上我們把這樣的兩種量叫做相關聯的量。

（二）自主探究，學習新知。

1.聯系生活，進一步感知相關聯的量。

（1）在生活中，你還知道哪些兩種相關聯的量，能舉些例子嗎？

（2）老師也為大家提供了一些例子，你們能從中找到兩種相關聯的量嗎？

情境1：（圖片形式呈現）

師：看完了春晚，小明領到了1000元壓歲錢，正在計劃著怎么用。

計劃用去100元，還剩下900元。

計劃用去200元，他還剩下800元。

計劃用去300元，他還剩下700元。

情境2：圓的半徑和周長（課件動態呈現畫圓的過程）

情境3：行駛的汽車的視頻。

師：（小結）只要仔細觀察，生活中有很多像這樣相關聯的量，也就是一個量總是隨著另一個量的變化而變化。那么在變化的過程中他們有什么規律嗎？

2.探索相關聯的量，研究變化規律。

情境4：書本情境圖。

師：請同學們拿出答題卡1（例1），按照要求，填寫表格，并回答問題。

例1：

（1）請同學們根據圖中的信息填表格。

（2）觀察表格，說說你有什么發現？

師：現在，誰來說說你有什么發現？

師：是的，總價隨著本數的變化而變化，在這變化的過程中有什么是不變的嗎？

生：單價。

師：單價真的是不變的嗎？誰會用數據來說明？

生：15÷1=15（元），30÷2=15（元），

師： 這個比值15實際上表示什么？（單價）

師：他們的比值都是15，所以說比值相等，也可以說單價是一定的。

師：（小結）現在咱們來回顧一下，剛才是怎樣研究這道題的？

（1）通過觀察我們發現，總價和本數是兩種相關聯的量，總價隨著本數的變化而變化。（2）通過計算我們還發現，總價和本數的比值（單價）是一定的，也就是不管本數與總價怎樣變，但單價始終不變。

3.進一步探究，感悟成正比例的量。

（1）同桌合作探究。

師：你會用剛才這樣的方法來研究這些例子嗎？（有困難的同學，可以借助以下的問題進行研究？）

①表格中，有哪兩種量？它們是不是相關聯的量？

②寫出幾組這兩種量對應的兩個數的比？算一算他們的比值相等嗎？

（2）匯報交流（略）

（3）觀察比較，揭示規律。（課件：出示下面三個表格）

師：現在老師把剛才咱們研究的三件事放在一起，你有什么發現嗎？

生：事情不一樣，但它們的意思都一樣。

生：都是相關聯的兩個量，一個量變化，另一個量也隨著變化。

生：他們的比值是一定的。

師：說得真好，事情不一樣，但它們卻有共同的地方？

看！兩種相關聯的量，一種量變化另一種量也隨著變化，當他們相對應的比值一定時，我們就把這兩種量叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。（板書課題：成正比例的量）

4.歸納概括成正比例量。

（1）結合以上3個例子說一說誰和誰是成正比例的量，為什么？

（2）不用例子，你會用自己的語言說說什么是成正比例的量嗎？

（3）請翻開書P39頁，讀一讀書上的概念并會用字母表示。

5.用圖像表示成正比例的量。

（1）師：（課件出示坐標圖）你知道橫軸表示什么？縱軸表示什么嗎？

師：如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？

（2）師：仔細觀察，老師畫的跟同學們的有什么不一樣？（從零開始）

師：是啊，成正比例的圖像是經過原點的一條直線。

師：想象一下，如果這輛車一直開下去，會是怎樣的情形？

（3）師：不用計算，根據圖像判斷，如果汽車行駛2.5小時，路程是多少千米？

如果汽車行駛了360千米，用了多少時間？

小結：這條直線上的每一個點，都有一對數字與它一一對應。

三、鞏固應用，判斷成正比例的兩個量。（略）

教后反思

本節課學生對正比例關系的理解有了質的突破，關鍵是教師抓住了知識的核心，設計了有價值的探究活動，讓學生在觀察、比較、分析、抽象、概括的數學活動中建構知識體系，感悟函數思想方法。

1.激活經驗，直觀感知。

激活生活經驗，讓學生充分感知相關聯的量。學生舉例后，教師又提供了4組的例子，這些例子的呈現方式有靜態的圖片、動感的視頻等，從不同的視覺感官上激活學生的生活經驗，幫助學生直觀的感知一種量的變化會引起另一種量的變化。

2.自主探究，積累數學活動經驗。

“數學基本活動經驗”的內涵是“指學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的學習策略與方法。”本節課為學生提供了2次自主探究的機會，首先在例題的教學中，教師讓學生根據購買圖書的直觀圖和數據填表格，然后同桌交流“你能結合數據說說書的總價與數量是怎樣變化的嗎？”從學生的表現來看他們習慣比較兩個量的增減變化，習慣把兩個量進行四則計算。怎樣把學生的思維引到比較“比值”上呢？教師適時的追問很重要，如“在這變化的過程中有什么是不變的嗎？”“誰會用數據來說明”。通過追問，讓學生在思維的沖突中思考，不管數量與總價如何變，單價始終不變，并通過小結幫助學生完善探究的策略和方法。“你能用剛才的方法研究下面的題目嗎？”接著教師再次給足時間讓學生探究，學生在探究中進一步感悟相關聯的兩個量在“變化中的不變關系”，通過觀察、比較，突出了“成正比例的量”的本質特征，讓學生經歷了自主構建知識的過程，體會到數學知識是怎樣從具體的事物中抽象、概括出來的，做到知其然更知其所以然，而且積累了數學活動經驗。

3.數形結合，滲透函數思想方法。

本節課除了從“數”的角度引導學生感悟變量之間的相互依存關系；還從“形”的角度豐富學生的學習體驗，滲透函數思想方法。這是學生第一次接觸函數圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的，因此教師在這部分內容的教學中，大膽地為學生設計猜想、探究、實驗和驗證的活動，如：“如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？”“你們畫的圖與老師畫的有什么不同？”“如果這輛車一直行駛下去，會是怎樣的情形呢？”教師通過這些問題讓學生認識到正比例關系的圖像是一條經過原點的直線，它可以延伸，即不斷的運動、發展、變化。接著又通過一組的問題，如：“不計算，你能知道這輛汽車4.5小時行駛多少千米嗎？”“行400千米呢？”引導學生觀察發現，在這條直線上的每一個點都有一對數字與它一一對應。在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，讓靜止的動起來，讓變量之間的抽象關系顯得更加形象、直觀，這個過程就是函數思想方法滲透的過程。

參考文獻

[1]人教版數學六年級下冊《教師教學用書》

[2]劉加霞.《小學數學課堂的有效教學》

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